FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. =

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES  ⇔  TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE  ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔  Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS,  ⇔   Δ MASSA ,   ⇔ Δ  CAMADAS ORBITAIS ,  ⇔  Δ FENÔMENOS  ,  ⇔  Δ  DINÂMICAS,   ⇔  Δ  VALÊNCIAS,   ⇔  Δ BANDAS,  Δ  entropia e de entalpia,  E OUTROS.  

x

 [EQUAÇÃO DE DIRAC].

 + FUNÇÃO TÉRMICA.

   +    FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

  ,      +   FUNÇÃO DE TUNELAMENTO QUÂNTICO.

  + ENTROPIA REVERSÍVEL 

+      FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

 ENERGIA DE PLANCK

X

• 
  V [R] [MA] =  Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

  ΤDCG

  X

  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
  x
  

  sistema de dez dimensões de Graceli + 

  DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.
• DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.

  x

  sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia.

  x
• TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
• X
• T l    T l     E l       Fl         dfG l   

  N l    El                 tf l

  P l    Ml                 tfefel 

  Ta l   Rl

           Ll
           D

Em física e demais ciências naturais, magnetismo é a denominação associada ao fenômeno ou conjunto de fenômenos relacionados à atração ou repulsão observada entre determinados objetos materiais - particularmente intensas aos sentidos nos materiais ditos ímãs ou nos materiais ditos ferromagnéticos - e ainda, em perspectiva moderna, entre tais materiais e condutores de correntes elétricas - especificamente entre tais materiais e portadores de carga elétrica em movimento - ou ainda a uma das parcelas da interação total (Força de Lorentz) que estabelecem entre si os portadores de carga elétrica quando em movimento - explicitamente a parcela que mostra-se nula na ausência de movimento de um dos dois, ou de ambos, no referencial adotado.^[1][2] Há de se ressaltar que a simples observação de atração ou repulsão entre dois objetos não é suficiente para caracterizar a interação entre os dois como de origem magnética, geralmente confundindo-se com certa facilidade, aos olhos leigos, os fenômenos magnéticos e elétricos. Tais fenômenos elétricos e magnéticos, apesar de hoje saber-se estarem profundamente correlacionados, têm em princípio de naturezas certamente diferentes.

Aos olhos desatentos enfatiza-se que os fenômenos elétricos e magnéticos - ao menos no cotidiano - diferem entre si basicamente nos seguintes aspectos:^[3]

• No cotidiano a força magnética mostra-se geralmente mais intensa do que a elétrica;
• Enquanto os fenômenos elétricos - em específico os eletrostáticos oriundos do atrito entre materiais diferentes - apresentem natureza efêmera, os magnéticos são geralmente duradouros;
• Ao passo que corpos eletrizados interagem de forma perceptível com praticamente todos os materiais, os corpos magnéticos interagem de forma significativa apenas com um grupo muito seleto desses.^{[nota 1]}

Em particular, é válido aqui desfazer-se a ideia em senso comum de que os ímãs atrairiam qualquer metal.^{[nota 2]} Em verdade, a grande maioria dos metais simplesmente não responde em magnetostática de forma perceptível aos sentidos. Entre os poucos que respondem, destacam-se o ferro, o cobalto e o níquel.

• O magnetismo pode orientar os corpos em direções definidas, geralmente não ocorrendo o mesmo nos fenômenos elétricos. Em outras palavras, em virtude de sua orientação, um mesmo corpo magnético pode ou ser atraído ou ser repelido por outro. No caso elétrico ou os dois geralmente ou se atraem ou se repelem - de forma independente da orientação espacial destes.^{[nota 3]}
• Os polos elétricos - positivo e negativo - podem ser separados ao passo que os polos magnéticos - norte e sul - estão sempre presentes no mesmo corpo, nunca podendo ser separados.^{[nota 4]}

Nestes termos é fácil agora caracterizar a atração entre o pente de cabelos após uso e pequenos pedaços de papel, ou mesmo entre a folha de papel e a capa de plástico de uma encadernação, como fenômenos elétricos, e a atração entre uma chave de fenda e um parafuso, ou entre o adesivo de propaganda e a geladeira, como magnéticos.

O exemplo mais difundido de fenômeno magnético certamente associa-se o funcionamento da bússola, uma agulha magnética de livre movimento orientada pelo campo magnético terrestre.^[4] As auroras boreal e austral constituem um exemplo menos conhecido, sendo devidas à existência de interação magnética entre partículas presentes no vento solar e o campo magnético da terra - que desvia tais partículas em direção aos polos magnéticos do planeta, onde, em interação com a atmosfera, implicam as luzes no céu características deste fenômeno.^[1]

Magnetismo é ainda o nome associado à divisão da Física responsável pelo estudo dos fenômenos magnéticos. A descoberta e melhor compreensão da estreita relação existente entre os fenômenos magnéticos e elétricos implicou, em tempos recentes, na fusão das áreas concernentes ao estudo da eletricidade e magnetismo - originalmente distintas - em uma única divisão mais abrangente, o eletromagnetismo.^[5] O eletromagnetismo encerra em si todos os fenômenos elétricos, todos os magnéticos, e mais os fenômenos associados à inter-relação explícita ou implícita entre os dois primeiros.

Eletromagnetismo
Representação do vetor campo elétrico de uma onda eletromagnética circularmente polarizada.
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História[Expandir]
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Físicos[Expandir]
v d e

Introdução[editar | editar código-fonte]

Um pouco de História[editar | editar código-fonte]

As observações de fenômenos magnéticos naturais são muito antigas. Entre elas relatam-se com frequência as realizadas pelos gregos em uma região da Ásia conhecida por Magnésia,^[2] embora haja indícios de que os chineses já conheciam o fenômeno há muito mais tempo.^[6] Ainda no século VI a.C., Tales de Mileto, em uma de suas viagens ao continente (na época província da Grécia), constatou que pequenas pedrinhas tinham a capacidade de atrair tanto objetos de ferro quanto a de atraírem-se. Tales foi o primeiro a tentar explicar o fenômeno afirmando que a magnetita - o minério magnético presente no solo - seria possuidor de uma espécie de "alma",^[7] e que esse poderia comunicar "vida" ao ferro inerte, que por sua vez também adquiria o poder de atração.^[6] Tales não teria sido contudo o primeiro a descobrir tal fenômeno na região. Conta a lenda que um pastor de ovelhas, de nome Magnes, teria percebido que a ponta de ferro do seu cajado ficava presa quando este o encostava em determinadas pedras^[7] - presumidamente a magnetita. Segundo alguns autores, do nome da região derivou-se o termo "magnetismo", até hoje usado para estudar os fenômenos relacionados. Contudo para outros o termo "magnetismo" advém do nome do pastor de ovelhas que teria constatado o primeiro fenômeno "magnético".^[8]

Em vista do que se sabe hoje em dia a explicação de Tales de Mileto pode parecer-nos muito simplória, contudo ressalva-se que não se deve julgar um pensamento fora do contexto histórico-sócio-cultural o qual pertence. Em tal época justamente os primeiros passos de uma longa jornada que viria culminar no que conhecemos hoje, dois milênios e meio depois, por ciência, estavam por ser dados. Em verdade, explicações similares perduraram pelos vários séculos que se seguiram: o magnetismo seria então a consequência da emanação de eflúvios, um "perfume" que emanaria do ferro e da magnetita, sensibilizando-os para que se atraíssem. A própria palavra ímã derivar-se-ia mais tarde da palavra francesa aimant, que, não de surpreender, traduz-se por amante em português.^[6]

Os chineses foram certamente os primeiros a encontrar aplicações práticas para o magnetismo. No início da era cristã os adivinhos chineses já utilizavam um precursor da bússola, uma colher feita de magnetita que, colocada em equilíbrio sobre um ponto de apoio central, podia mover-se livremente. Tratava-se da "colher que apontava para o sul", sempre presente em seus rituais.^[9] No século VI os chineses já dominavam a tecnologia para a fabricação de ímãs.^[6]

Esses fenômenos, contudo, não despertaram um maior interesse, pelo menos até os século XIII, quando começaram a surgir observações e trabalhos mais acurados a respeito da eletricidade e do magnetismo. Delas decorreram de imediato a conclusão de que os fenômenos elétricos e magnéticos teriam naturezas completamente distintas, ideia que perdurou até dois séculos atrás. Em 1269 Pierre de Maricourt, em uma de suas cartas enviadas a um amigo, descreve com precisão a maioria das experiências típicas associadas ao fenômeno e que ainda hoje figuram com abundância em livros de ensino atuais.^[10] A ele devemos as nomenclaturas "pólo norte" e "pólo sul" associadas aos pólos de um magneto e a lei dos "opostos se atraem, iguais se repelem" diretamente associada aos mesmos. Também observou que em um ímã, mesmo quando oriundo de fratura de outro, encontram-se presentes sempre dois pólos opostos.^[6]

Destacam-se seguindo-se a cronologia e dando continuidade ao trabalho de Pierre de Maricourt, dois séculos mais tarde entretanto, os trabalhos do cientista inglês William Gilbert, esses resumidos em um livro publicado em 1600 que revelou-se um marco na área: o De Magnete.^[11] Consonante com o fato de que a ciência em sua definição moderna vinha à luz no exato período em questão (William fora contemporâneo de Galileu Galilei) pode considerar-se esse livro como um dos primeiros trabalhos em moldes científicos sobre o assunto, e por tal um clássico da literatura científica. O tomo encerrava praticamente todos os conhecimentos válidos produzidos até a época, pouco acrescendo-se aos mesmos até o início do século XIX. Gilbert fora capaz inclusive de explicar o comportamento da bússola, propondo que a terra comportava-se como um ímã de dimensões gigantescas.^[6] Conclusões mais sofisticadas, como a descoberta de que o aquecimento de um ímã fá-lo perder suas propriedades magnéticas e a verificação de que a magnetização e desmagnetização não implicam alteração no peso do objeto também estavam presentes. O livro não encerrava apenas estudos sobre magnetismo; também abordava vários dos tópicos contemporâneos ligados ao estudo da eletricidade.^[12]

Os avanços seguintes na área do magnetismo só foram possíveis graças a um significativo avanço ocorrido na área da eletricidade: a invenção da pilha por Alexandro Volta.^[13] A existência de uma fonte de energia elétrica - de corrente elétrica - duradoura mostrar-se-ia essencial para que o físico e químico dinamarquês Hans Christian Ørsted pudesse estabelecer de forma sólida em 1820, via um momento de serendipidade em uma aula e não nos confinamentos de um laboratório de pesquisa, algo do qual já se suspeitava há muito: que os fenômenos elétricos e magnéticos guardam íntima relação. A experiência de Ørsted entrou para os anais da física ao evidenciar que correntes elétricas provocam efeitos magnéticos em sua vizinhança, sendo estas capazes de interferir na orientação de bússolas em suas proximidades.^[14]

O passo seguintes no avanço da compreensão do magnetismo em direção ao eletromagnetismo foi dado pelo inglês Michael Faraday e concomitantemente pelo estadunidense Joseph Henry: a descoberta da indução magnética.^[15][16] Trata-se tão somente da resposta experimental afirmativa para uma questão diretamente decorrente da experiência de Ørsted: se eletricidade é capaz de produzir fenômeno magnético, é o inverso também verdade? Devido aos exaustivos estudos realizados por Faraday em detrimento de uma devoção menor por parte de Henry ao assunto - decorrente da sua indisponibilidade de tempo por razões profissionais - historicamente credita-se a Faraday e não a Henry os louros da descoberta.

A Faraday também credita-se o conceito de campo, conceito este imediatamente estendido tanto ao estudo da eletricidade quanto ao do magnetismo e que mostrar-se-ia essencial à síntese realizada por James Clerk Maxwell. Em tal contexto as contribuições de Heirinch Friedrich Emil Lenz (a lei de Lenz); de Wilhelm Eduard Weber, homenageado ao estabelecer-se a unidade S.I. para a grandeza fluxo magnético (o weber), sendo quem primeiro obteve a partir de experimentos relacionados ao eletromagnetismo o valor experimental de uma constante, c = 3,1 x 10⁸ m/s, imediatamente reconhecida como análoga ao valor da velocidade da luz no vácuo; dos matemáticos Franz Ernst Neumann (lei de Faraday-Neumann-Lenz), Carl Friedrich Gauss (lei de Gauss) e demais; não podem deixar de ser mencionadas.

Maxwell, com suas famosas quatro equações - as Equações de Maxwell - conseguiu explicar não apenas todo o conhecimento empírico sob o domínio do magnetismo quando sob domínio da eletricidade - e comuns - conhecidos até a sua época como também conseguiu estabelecer bases teóricas sólidas quanto à existência das ondas eletromagnéticas, o que ao fim da história abriu, junto os trabalhos de Weber, Hertz e outros, o caminho para a integração da ótica ao agora chamado eletromagnetismo.^[8] E não demorou muito para evidenciar-se que a igualdade entre o valor teórico da velocidade das ondas eletromagnéticas oriundos das equações de Maxwell, o valor da constante experimentalmente determinado por Weber, o valor da velocidade das ondas eletromagnéticas determinado após a descoberta destas por Hertz, e o valor experimental da velocidade da luz - há algum tempo conhecido com razoável precisão - não se devia, certamente, a uma mera coincidência.^[17]

Credita-se à Heinrich Hertz a confirmação experimental da existência das ondas eletromagnéticas e determinação da velocidade dessas.^[18]

Polos e dipolos magnéticos[editar | editar código-fonte]

A principal característica de um objeto em interação magnética atrela-se ao fato de essa interação mostrar-se particularmente intensa em determinadas regiões e menos intensas em outras ao longo de sua extensão ou, em caso de tamanho desprezível, ao redor desse. A cada uma dessas regiões de forte interação dá-se o nome de polo magnético.^[5] Evidencia-se que um polo é sempre acompanhado de um polo conjugado, havendo no mínimo dois polos distintos em qualquer objeto magnético. Tais polos são inseparáveis, e juntos formam o que denomina-se dipolo magnético.

Colocando-se uma folha de papel sobre uma barra de ímã e salpicando-se limalhas de ferro sobre a mesma evidencia-se a presença dos polos magnéticos deste: trata-se de um dipolo magnético.

Os polos conjugados de um objeto magnético são nomeados respectivamente polo magnético norte e polo magnético sul.

É explicitamente importante aqui que se evite confundir essa nomenclatura com a nomenclatura muito semelhante utilizada para nomearem-se os polos geográficos de objetos em rotação; em particular os polos geográficos do planeta Terra. Associados a um objeto em rotação têm-se os polos geográficos. Fala-se neste caso em polo geográfico norte e polo geográfico sul: considerando-se os dois pontos determinados pelo interseção do eixo de rotação com a superfície do objeto girante, movendo-se os dedos da mão direita sobre o mesmo de forma que os dedos dessa mão, em posição de segurá-lo, acompanhem o seu movimento de rotação, ter-se-á o dedão dessa mão indicando o polo que será então denominado polo geográfico norte; outro dos dois pontos na superfície será o polo geográfico sul.

A definição de qual dos polos magnéticos de um eletroímã será nomeado polo magnético norte e qual será o polo magnético sul também pode, em vista do paradigma científico válido atualmente, ser determinada mediante uma das aplicações da "regra da mão direita"; obviamente não existindo neste caso um eixo de rotação espacial aplicável, contudo. A referência é nesse caso a direção e sentido estabelecidos pela corrente elétrica diretamente associada ao comportamento magnético observado, corrente essa que geralmente percorre o condutor elétrico, espira ou solenoide em consideração. Estabelecido qual é o polo norte e qual o polo sul magnéticos desse, por comparação, estabelece-se qual o polo norte e qual o sul de qualquer outro magneto. Para tal basta observar que, dados dois objetos em interação magnética:

• polos de mesma nomenclatura, quando em interação, determinam repulsão;
• polos de nomenclaturas diferentes, quando em interação, determinam atração.

É sabido, entretanto, que a nomenclatura magnética em debate antecede cronologicamente o conhecimento necessário ao uso da regra da mão direita para determiná-la. A explicação para a questão derivada passa certamente pela percepção de que a semelhança entre as nomenclaturas para os polos geográficos e para os polos magnéticos talvez não seja, e em verdade não é, mera coincidência. Há muito, conforme citado, sabe-se que dipolos magnéticos, quando suspensos de forma que possam girar livremente, orientam-se espacialmente de forma que um de seus polos magnéticos determine uma direção próxima àquela estabelecida pelos polos geográficos da terra. Tal observação levou à denominação no magneto de polo magnético norte ao polo magnético que orienta-se de forma a indicar o polo geográfico norte, e à de polo magnético sul ao polo magnético do magneto voltado para o sul geográfico da Terra. Essas nomenclaturas conforme estabelecidas são - ao menos na atualidade visto que os polos magnéticos do planeta alternaram suas posições geográficas com o passar das eras - condizentes com as estabelecidas pelos usos antes citados da regra da mão direita.

A Terra é um grande ímã[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Magnetismo terrestre

A Terra porta-se como se fosse um gigantesco ímã. Junto ao polo geográfico norte tem-se o polo magnético sul do planeta, e junto ao polo geográfico sul o norte magnético.

Bússola usada na navegação. Atraído pelo polo magnético sul da Terra, o polo magnético norte da agulha da bússola irá orientar-se sempre de forma a indicar em proximidade o norte geográfico do planeta.

Durante muito tempo procurou-se explicação para a orientação assumida pelos ímãs quando suspensos de forma a girarem livremente. A resposta é em princípio simples quando se propõe que a Terra se comporta como um ímã de dimensões gigantescas, contudo mostra-se bem mais complicada quando evolui para a questão de se saber o porquê da Terra se comportar como um ímã.^[19]

Em dias atuais os polos geográficos localizam-se próximos, mas não coincidentes, aos polos magnéticos da Terra. Em vista das considerações na seção anterior, é fácil perceber que próximo ao polo geográfico norte da Terra situar-se-á o polo sul magnético do planeta, e próximo ao polo geográfico sul do planeta encontra-se o polo magnético norte deste. Tal posicionamento leva ao correto funcionamento da bússola: o norte magnético da agulha magnética determina o norte geográfico do planeta por ter sido atraído pelo polo magnético sul do planeta, esse setentrionalmente localizado.

Em termos dos polos geográficos e do eixo de rotação do planeta, fundamentais para se definirem as coordenadas geográficas, as posições geográfica dos polos magnéticos são atualmente as seguinte:^[20]

Pólo magnético norte[1]	(2001) 81° 18′ N, 110° 48′ O	(2004) 82° 18′ N, 113° 24′ O	(2005) 82° 42′ N, 114° 24′ O
Pólo magnético sul[2]	(1998) 64° 36′ S, 138° 30′ L	(2004) 63° 30′ S, 138° 00′ L

Vale contudo lembrar que a bússola nem sempre irá apontar exatamente para tais pontos. Devido a interferências associadas às condições magnéticas locais, devidas entre outros à presença ou não de materiais magnéticos no solo, mesmo o uso da bússola para a orientação geográfica deve ser feito com cautela, devendo esta ser atrelada a uma correção pontual conhecida por declinação magnética. As cartas de navegação normalmente informam a declinação magnética aplicável e sua área de abrangência.

A explicação do porquê a Terra se comporta como um grande ímã mostra-se bem mais nebulosa ao considerar-se que os registros magnéticos gravados em rochas vulcânicas - nos ímãs naturais, verdadeiros "fósseis" magnéticos - fortemente sugerem que as posições geográficas dos polos magnéticos do planeta mudam não apenas constantemente - conforme corroborado por medidas atuais - como em verdade mudam radicalmente. Nos últimos 17 milhões de anos, tempo não tão significativo perto dos 4,5 bilhões de anos atribuídos à idade do planeta, os polos magnéticos teriam invertido suas posições cerca de 170 vezes.^[6] Mesmo considerações sobre o fato de que o manto e o núcleo da Terra sejam constituídos em essência por ferro não são suficientes para estabelecer-se um modelo satisfatório. Sabe-se que o material do manto encontra-se em estado líquido viscoso, em temperaturas bem acima da temperatura de Curie deste elemento, o que o leva a um estado não magnético. A mesma consideração, quando aplicada ao núcleo, mesmo este sendo sólido, mostra-se também pertinente. Até o momento não se tem um modelo cientificamente aceito para explicar o magnetismo terrestre e seu comportamento. Supõe-se que correntes elétricas oriundas de gradientes de temperatura no interior do planeta desempenhem papel importante no processo.

No âmago do fenômeno[editar | editar código-fonte]

Homenagem a Hans Christian Ørsted, no município Rudkøbing, Langeland, na Dinamarca. A descoberta experimental de que a corrente elétrica é capaz de gerar efeitos magnéticos foi decisiva para uma melhor compreensão quanto à causa primária do magnetismo.

Conforme citado, não se verificou, até os dias de hoje, a existência de cargas magnéticas - de monopolos magnéticos - na natureza. Eis pois que surge a questão: qual a causa primária responsável pelos fenômenos magnéticos observados na natureza? A resposta é simples: cargas elétricas em movimento, ou seja, correntes elétricas.

Quando duas partículas eletricamente carregadas encontram-se estáticas no referencial adotado, há entre elas uma interação de natureza puramente elétrica. Caso apenas uma delas esteja em movimento retilíneo uniforme, ainda haverá entre elas apenas uma interação de natureza elétrica. Contudo, colocando-se ambas em movimento retilíneo uniforme, observar-se-á no referencial adotado que, além da interação elétrica entre as mesmas, uma nova forma de interação - a interação magnética - far-se-á presente. As cargas foram colocadas em movimento retilíneo uniforme por simplicidade, havendo entre as mesmas interação magnética mesmo no caso em que estas encontrem-se aceleradas, desde que ambas, contudo, apresentem velocidades não nulas. A escolha de sistemas envolvendo apenas cargas em movimento retilíneo uniforme é geralmente assumida quando estuda-se o magnetismo em virtude de que, em sistemas envolvendo cargas elétricas aceleradas, haverá ainda um terceiro fenômeno envolvido: a emissão de ondas eletromagnéticas. Tal fenômeno resume-se geralmente na seguinte sentença: "cargas elétricas aceleradas irradiam".^[21] A necessidade de se considerar as interações oriundas da radiação presente em tais sistemas certamente torna-os mais complexos, sendo estes estudos no contexto do eletromagnetismo.^[22]

O estudo dos fenômenos associadas à interação magnética em sistemas envolvendo apenas cargas elétricas em movimento retilíneo uniforme - ou em sistemas onde a quantidade total de onda eletromagnética irradiada pode ser desprezada - é geralmente designado por magnetostática.

Em essência, todo magnetismo conhecido atrela-se de alguma forma à presença de cargas elétricas em movimento. Mesmo em ímãs naturais, materiais onde não se verifica a presença de correntes macroscopicamente mensuráveis em suas estruturas, tal afirmação é valida. O magnetismo em ímãs naturais e demais materiais magnéticos associa-se à cinemática das cargas elétricas - prótons e elétrons, com destaque para os últimos - presentes em suas estruturas microscópicas, ou seja, nos átomos que os compõem. Em vista dos modelo atômicos de Rutherford-Bohr para o átomo, os elétrons movem-se em órbitas em torno do núcleo - produzindo por tal cada qual um efeito magnético. Mesmo em vista do modelo mais moderno para o átomo - o modelo atômico dos orbitais - derivado de avanços na compreensão da mecânica quântica, tal afirmação ainda é plenamente válida.

As propriedades magnéticas de um material são decorrentes da forma como os diversos dipolos magnéticos oriundos das correntes elétricas em suas estruturas atômicas se combinam entre si, tanto em nível interno ao próprio átomo - o que se refere sobretudo à interação magnética entre si dos elétrons que o estruturam - como entre um átomo e seus demais vizinhos. Há de se considerar também em qualquer dos modelos citados que o magnetismo associado a uma partícula carregada em particular, seja esta próton ou elétron, não se deve apenas ao seu movimento relativo no referencial adotado. Há também, de grande relevância à análise do comportamento magnético - e da própria estruturação do átomo como descrito - o momento magnético intrínseco de cada partícula, este diretamente correlacionado ao spin - ao momento angular intrínseco - da referida partícula. É sabido que associar o momento angular intrínseco de uma partícula ao movimento de rotação desta sobre seu eixo não é um dos melhores modelos para se explicar tal propriedade - mesmo porque partículas como o elétron não têm dimensão experimentalmente resolvida (o elétron é até o momento descrito como um ponto) - contudo este modelo serviria de base para justificar a correlação entre os momentos angular e magnético intrínsecos das partículas carregadas: uma partícula carregada que gira sobre si implica carga elétrica em movimento circular e, por tal, em campo magnético. Partículas carregadas como elétrons e prótons são, por si só, pequenos dipolos magnéticos e os efeitos magnéticos destes são fundamentais tanto para a compreensão da estrutura do átomo como do comportamento magnético da matéria como um todo.^[23]

Os momentos de dipolo magnéticos[editar | editar código-fonte]

Dipolo extrínseco[editar | editar código-fonte]

O Momento de dipolo magnético ${\displaystyle {\vec {m}}}$ de uma espira plana é definido como o produto entre a corrente elétrica I que percorre seu perímetro e vetor área ${\displaystyle a}$ que define sua superfície.

Considere uma pequena superfície plana circular de área "a" delimitada pela presença de uma corrente elétrica de intensidade constante "i" junto ao perímetro desta. Define-se o momento de dipolo magnético ${\displaystyle {\vec {m}}}$ associado a esta pequena espira de corrente elétrica como:

${\displaystyle {\vec {m}}=i{\vec {a}}}$

onde ${\displaystyle {\vec {a}}}$ representa o "vetor área", um vetor cujo valor corresponde ao valor da área encerrada pela fronteira, cuja direção é perpendicular à superfície plana em questão e cujo sentido é adequadamente estabelecido pela regra da mão direita.

Embora tenha-se assumido um anel circular de corrente para estabelecer-se a definição de momento de dipolo magnético, é importante ressaltar que, provido que a corrente esteja confinada a um plano, a expressão constitutiva anterior permanece válida qualquer que seja a forma do circuito de corrente a se considerar, sendo o módulo do momento de dipolo determinado, em ambos os casos, pelo produto entre os valores da área "a" da superfície confinada e da corrente "i" presente em seu perímetro.^[24]

Assim como a carga elétrica - no Sistema Internacional de Unidades (S.I.) medida em coulombs - representa a fonte primária responsável pelos efeitos elétricos, o momento de dipolo magnético corresponde à fonte primária responsável pelos efeitos magnéticos, sendo seu papel na magnetostática em muito similar ao da carga elétrica na eletrostática. Contudo, ao passo que a carga elétrica é uma grandeza escalar, o momento de dipolo magnético é certamente uma grandeza vetorial, e estas não são completamente análogas.

A unidade de medida do momento de dipolo magnético é o ampère metro quadrado (A.m²), correspondendo, conforme esperado, ao produto das unidades adotadas no S.I. para a corrente elétrica e para a medida de área, respectivamente.

Para superfícies não planas ou com bordas irregulares, pode-se determinar o momento de dipolo magnético associado mediante auxílio do cálculo integral e diferencial:

${\displaystyle {\vec {m}}=I\int {d{\vec {a}}}}$

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. =

onde ${\displaystyle d{\vec {a}}}$ representa o vetor área associado a cada um dos infinitesimais de área no qual a superfície é dividida.^[22]

Dipolo intrínseco[editar | editar código-fonte]

Partículas subatômicas carregadas - a exemplo elétrons e prótons - portam-se cada qual como pequenos magnetos, possuindo um momento de dipolo magnético inerente à partícula, denominado momento de dipolo magnético intrínseco. Este momento de dipolo magnético relaciona-se diretamente a outra propriedade pertinente a todas as partículas subatômicas, carregadas ou não: o momento angular intrínseco, também denominado spin. Conforme já discutido, ambas as propriedades não têm análogos clássicos, e o modelo de se pensar em uma partícula girando sobre seu próprio eixo não se mostra plenamente satisfatório, embora traga alguma luz à relação existente entre tais propriedades. Momento angular é uma grandeza notoriamente associada à dinâmica de rotação, e se a partícula possui carga, ter-se-á também, por lógica, um momento de dipolo magnético, visto encontrar-se esse notoriamente associado à pertinente dinâmica da atrelada carga elétrica.

Ressalva feita às diminutas dimensões (ver Campo magnético de um dipolo) e excetuando-se a natureza não clássica desses, os momentos de dipolo magnéticos intrínsecos das partículas carregadas portam-se para todos os efeitos de forma análoga aos momentos magnéticos extrínsecos antes definidos.

Os momentos magnéticos intrínsecos para o elétron e para o próton são, respectivamente:^[1]

${\displaystyle \mu _{e}=9,28\times 10^{-24}A.m^{2}}$

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. =

${\displaystyle \mu _{p}=1,41\times 10^{-26}A.m^{2}}$

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. =

Alguns momentos magnéticos[editar | editar código-fonte]

A tabela abaixo apresenta alguns momentos de dipolo magnéticos para comparação.^[1] Os valores aparecem em notação científica.

Sistema	Módulo de ${\displaystyle {\vec {m}}}$ em ${\displaystyle J/T=A.m^{2}}$
Núcleo do átomo de nitrogênio	${\displaystyle 2\times 10^{-28}}$
Próton	${\displaystyle 1,4\times 10^{-26}}$
Elétron	${\displaystyle 9,3\times 10^{-24}}$
Átomo de nitrogênio	${\displaystyle 2,8\times 10^{-23}}$
Bobina de um galvanômetro típico	${\displaystyle 5,4\times 10^{-6}}$
Pequena barra imantada	5
Bobina supercondutora	${\displaystyle 4\times 10^{2}}$
A Terra	${\displaystyle 8,0\times 10^{22}}$

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. =

Campo magnético[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Campo magnético

Um pouco sobre campos[editar | editar código-fonte]

Antes do conceito de campo ser estabelecido dentro da física admitia-se que as interações físicas, quaisquer que fossem suas naturezas, davam-se por ação direta e instantânea de uma das partes interagentes sobre a outra e vice-versa, em um modelo conhecido por "ação à distância". Neste modelo, em essência, não havia um ente físico responsável por intermediar a interação.

Surgindo entre outros como um mecanismo para facilitar os cálculos envolvidos em problemas onde havia inúmeros - ou às vezes incontáveis - objetos que, dispostos simetricamente, atuavam simultaneamente sobre o ente físico em análise, o conceito de campo evoluiu rapidamente junto às descobertas de novos fatos que contrastavam com a ideia de ação à distância, chegando-se ao ponto deste ganhar, nos paradigmas válidos atualmente, status de ente físico com existência real. A possibilidade de verificar-se experimentalmente que "o limite superior para a velocidade de transmissão de uma informação é a velocidade da luz" foi certamente decisivo a favor da ideia de campo: o campo hoje expressa uma entidade real responsável por mediar a interação entre dois entes físicos quaisquer. Há pois um campo associado à interação gravitacional, um associado à interação elétrica, um associado à interação magnética, e assim por diante. As ondas eletromagnéticas figuram como o ápice de tal ideia: um campo elétrico e um campo magnético sustentando-se mutuamente de forma a propagarem-se livremente pelo espaço.

Têm-se pois os seguintes modelos físicos:

• (1): ente 1 <-- ação à distância: direta e instantânea --> ente 2 : superado; contradito por fatos descobertos nos últimos séculos.
• (2): ente 1 <-- Campo: ação não direta e não instantânea --> ente 2: paradigma atual

Diagrama representando os vetores ${\displaystyle {\vec {B}}}$, ${\displaystyle {\vec {v}}}$ e a força resultante ${\displaystyle {\vec {F}}}$ que atua em um pósitron (e⁺) na situação apresentada. O campo magnético encontra-se saindo da tela, situação por convenção representada por um círculo com um pontinho ao centro. Caso o pósitron fosse posto a se mover em qualquer dos sentidos perpendiculares à tela, saindo ou entrando desta - em direção paralela à de ${\displaystyle {\vec {B}}}$, portanto - a força magnética sobre este mostrar-se-ia, por isto, nula.

Nos termos do modelo atual a interação magnética entre dois momentos de dipolo magnéticos é analisada sob enfoque de um campo, neste caso uma entidade vetorial conhecida por campo magnético. Sua definição tem origem em fatos empíricos, sendo o mesmo definido como se segue.

Definição[editar | editar código-fonte]

Considere uma carga elétrica de prova positiva q = e⁺ movendo-se com uma velocidade ${\displaystyle {\vec {v}}}$ não nula em uma região do espaço sob influência apenas de fontes magnéticas - a exemplo, sob influência de fios que conduzem correntes elétricas, ou mesmo de uma distribuição não necessariamente simples de dipolos magnéticos. Nestes termos verifica-se experimentalmente que:

• havendo presença de força magnética ${\displaystyle {\vec {F}}_{M}}$ atuando na partícula, esta será sempre perpendicular à velocidade ${\displaystyle {\vec {v}}}$ desta partícula.
• mantidas demais condições inalteradas, o valor da força magnética ${\displaystyle {\vec {F}}_{M}}$ é diretamente proporcional ao valor da carga q da partícula.
• mantidas demais condições inalteradas, o valor da força magnética ${\displaystyle {\vec {F}}_{M}}$ é diretamente proporcional ao valor v da velocidade ${\displaystyle {\vec {v}}}$ da partícula.
• variando-se apenas a direção da velocidade ${\displaystyle {\vec {v}}}$ da partícula, para cada ponto há uma direção em específico para a qual o valor da força magnética mostrar-se-á nulo.
• o valor da força magnética ${\displaystyle {\vec {F}}_{M}}$ depende do ângulo existente entre a direção da velocidade ${\displaystyle {\vec {v}}}$ da partícula e a direção anterior - para a qual a força magnética mostra-se nula. O fator de proporcionalidade envolve o seno do ângulo em questão (${\displaystyle sen\theta }$).

Agrupando-se logicamente estes dados chega-se à conclusão de que a força magnética que atua sobre uma carga elétrica q em movimento é proporcional ao produto das grandezas relacionadas:

F ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle q.v.sen\theta }$

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. =

onde ${\displaystyle \alpha }$ é traduzido por "é diretamente proporcional a". O rigor matemático permite-nos transformar tal sentença em uma igualdade mediante a introdução de uma constante, aqui nomeada B.

${\displaystyle F=B(q.v.sen\theta )}$

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. =

A contante B corresponderá, por definição, justamente ao valor do campo magnético presente no ponto em que a partícula se encontra, ficando este por tal assim definido:

${\displaystyle B={\frac {F_{M}}{q.v.sen\theta }}}$

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. =

Regra da mão direita, em sua versão conhecida por "regra do tapa", exibindo a correta relação entre os vetores ${\displaystyle {\vec {F}}_{M}}$, ${\displaystyle {\vec {v}}}$ e ${\displaystyle {\vec {B}}}$ para a interação magnética.

O valor do campo magnético B fica experimentalmente definido visto que as demais grandezas das quais depende - velocidade, força e ângulo - são facilmente mensuráveis na prática. Contudo há ainda que se considerar a direção e sentido do campo magnético B, pois este é em verdade uma grandeza vetorial. Assim:

• a direção do campo magnético B é definida como sendo paralela à direção da velocidade ${\displaystyle {\vec {v}}}$ da partícula carregada para no caso em que a força magnética sobre a mesma mostre-se nula em virtude apenas da orientação desta velocidade.
• o sentido do campo magnético é estabelecido de forma a ter-se o sentido do campo magnético ${\displaystyle {\vec {B}}}$ análogo ao sentido do vetor que resulta do produto vetorial entre ${\displaystyle {\vec {F}}_{M}}$ e ${\displaystyle {\vec {v}}}$ na ordem dada, ou seja, análogo ao sentido do resultado do produto ${\displaystyle {\vec {F}}_{M}\times {\vec {v}}}$.

Em essência, esta definição implica a regra da mão direita conforme amplamente difundida, de forma que:

${\displaystyle {\vec {F}}_{M}=q.{\vec {v}}\times {\vec {B}}}$

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. =

Esta é a expressão fundamental da interação magnética, que permite calcular a força magnética que atua em uma partícula que se mova com uma velocidade ${\displaystyle {\vec {v}}}$ em uma região do espaço onde haja um campo magnético ${\displaystyle {\vec {B}}}$. Esta equação encerra em si todos os pontos empíricos inicialmente discutidos, inclusive o fato experimental de que a força magnética ${\displaystyle {\vec {F}}_{M}}$ mostra-se sempre perpendicular à velocidade ${\displaystyle {\vec {v}}}$ da partícula, e também sempre perpendicular ao agora definido campo magnético ${\displaystyle {\vec {B}}}$, com o qual a partícula interage. O ângulo ${\displaystyle \theta }$ relativo ao ângulo entre os vetores ${\displaystyle {\vec {v}}}$ e ${\displaystyle {\vec {B}}}$, o qual pode certamente ser diferente de 90º, antes presente de forma explícita na equação envolvendo apenas os módulos das grandezas em questão, ainda figura na presente equação, contudo agora subentendido na definição de produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores paralelos é por definição nulo, de forma que se a partícula for posta a mover-se de forma paralela ao campo magnético, a expressão irá fornecer um resultado nulo para a força magnética, o que está em pleno acordo com os resultados experimentais: há uma direção em particular na qual a partícula se move de forma que esta não experimente força magnética - a direção definida como sendo a direção de ${\displaystyle {\vec {B}}}$.

A unidade de campo magnético deve ser dimensionalmente compatível com sua definição. Retomando a expressão que define o valor de B, lembrando que seno de um ângulo é adimensional e que, no S.I, a unidade para força é o newton (N), para velocidade é o metro por segundo (m/s), para carga elétrica é o coulomb (C), e que há uma relação entre as unidade de corrente elétrica, carga e tempo de forma que um ampère iguala-se a um coulomb por segundo (1A = 1C/s), tem-se que a unidade de campo magnético deve ser expressa por:

${\displaystyle [{\vec {B}}]={\frac {N}{C({\frac {m}{s}})}}={\frac {Ns}{Cm}}={\frac {N}{A.m}}}$

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. =

onde os colchetes "[]" representam "a unidade de".

A unidade de campo magnético recebe o nome de tesla em homenagem ao cientista Nikola Tesla, de forma que

${\displaystyle [{\vec {B}}]=tesla={\frac {newton}{ampere.metro}}}$ ou seja, ${\displaystyle 1T={\frac {N}{A.m}}}$

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. =

Segue-se abaixo uma tabela com alguns valores de campos magnéticos típicos:^[22]

Fonte e localização	Valor do campo magnético (Tesla)
Superfície de uma estrela de nêutrons	10⁸
Nas proximidades de um ímã supercondutor	5
Nas proximidades de um grande eletroímã	1
Nas proximidades de uma pequena barra imantada	10 -2
Campo magnético terrestre em sua superfície	10 -4
No espaço interestelar	10 -10
Em uma sala blindada magneticamente	10 -14

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. =

Há ainda uma unidade para o campo magnético que, embora não pertencente ao S.I, mostra-se frequentemente utilizada em laboratórios de física. Trata-se do Gauss, unidade nomeada em homenagem explicita a Johann Carl Friedrich Gauss, um matemático cujas contribuições foram decisivas na solidificação da teoria do eletromagnetismo (vide lei de gauss, entre outras). Um campo magnético de valor 1 gauss equivale a um campo de 1x10 ^-4 teslas, ou respectivamente, 1 tesla equivale a 10.000 gauss. O campo magnético da terra, quando medido em sua superfície, tem ordem de grandeza de 1 gauss.

Representações[editar | editar código-fonte]

O campo magnético é um campo vetorial. Traduz-se por tal que deve-se, a cada ponto do espaço tridimensional, associar um pequeno vetor ${\displaystyle {\vec {B}}}$ com módulo, direção e sentido bem determinados, isto a cada instante especificado de tempo t, visto que o campo magnético pode encontrar-se variando no tempo (${\displaystyle {\vec {B}}={\vec {B_{({\vec {r}},t)}}}}$). Há certamente diversas formas de representá-lo, tanto gráfica como algebricamente.

Representação algébrica[editar | editar código-fonte]

Representação por linhas do campo magnético de um fio retilíneo posicionado de forma perpendicular ao papel (ou tela). Conforme representa o "." ao centro, a corrente flui "saindo" da tela. O campo decai com a distância ao afastar-se do fio em direção radial.

Observação: requer-se doravante conhecimentos básicos acerca de sistema de coordenadas bem como de espaço e álgebra vetoriais para a compreensão do que se apresenta.

Representar algebricamente tais campos é certamente a forma mais coerente de fazê-lo, bastando para tal associar uma função escalar das coordenadas espaciais (${\displaystyle {\vec {r}}}$) do ponto onde determina-se o campo bem como do tempo t a cada um dos vetores unitários que definem o espaço tridimensional no sistema de coordenadas adotado, isso de forma a poder-se calcular o vetor campo magnético naquele ou em qualquer outro ponto ou tempo em questão:

${\displaystyle {\vec {B}}_{{\vec {r}},t}=f_{1({\vec {r}},t)}{\vec {\hat {u}}}_{1}+f_{2({\vec {r}},t)}{\vec {\hat {u}}}_{2}+f_{3({\vec {r}},t)}{\vec {\hat {u}}}_{3}}$

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. =

onde ${\displaystyle {\vec {{\hat {u}}_{1}}},{\vec {{\hat {u}}_{2}}}}$ e ${\displaystyle {\vec {{\hat {u}}_{3}}}}$ representam os vetores unitários no sistema de coordenadas escolhido.

A exemplo, para um fio retilíneo infinito conduzindo uma corrente I ao longo do eixo coordenado Z em orientação dada por este, sabe-se que o campo magnético é circular em torno do fio, e que torna-se mais fraco à distâncias maiores desse (ver seção "O campo magnético e o fio retilíneo"). Em um sistema de coordenadas cartesiano pode-se expressá-lo por:

${\displaystyle {\vec {B}}={\frac {\mu _{0}I}{2\pi [{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}]}}([-{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}]{\vec {\hat {i}}}+[{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}]{\vec {\hat {j}}})}$

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. =

onde ${\displaystyle {\vec {\hat {i}}}}$ representa o vetor unitário que define a direção e orientação do eixo coordenado X e ${\displaystyle {\vec {\hat {j}}}}$ o unitário que define os mesmos parâmetros para o eixo coordenado Y. As coordenadas do ponto P = (x,y,z) onde determina-se o campo são representadas por x e y na referida equação, sendo notória contudo a ausência da coordenada z. Dada a simetria, o vetor campo magnético não dependente da coordenada z no caso de um fio retilíneo infinito, o que justifica a ausência dessa coordenada na equação que determina ${\displaystyle {\vec {B}}}$.

Com a direção e sentido do eixo Z sendo definidos pelo vetor unitário ${\displaystyle {\vec {\hat {k}}}}$ o ponto P = (x,y,z) onde determina-se o campo é realmente localizado, a partir da origem O do sistema de coordenadas, pelo vetor posição ${\displaystyle {\vec {r}}=x{\vec {\hat {i}}}+y{\vec {\hat {j}}}+z{\vec {\hat {k}}}}$. Dada a simetria axial do problema, contudo, é possível reduzi-lo a um problema bidimensional confinado ao plano ZY (onde z=0); assume-se assim doravante, sem perda de generalidade, que ${\displaystyle {\vec {r}}=x{\vec {\hat {i}}}+y{\vec {\hat {j}}}}$, contudo.

A equação para ${\displaystyle {\vec {B}}}$ trata-se apenas da expressão que define um vetor unitário tangente a uma circunferência de raio ${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ inscrita em plano paralelo ao plano XY, ou melhor, no plano XY mediante convenção bidimensional adotada, e com centro sobre o eixo z, ou seja, sobre a origem diante da convenção (o fator entre parênteses na expressão acima), expressão essa multiplicado pelo módulo do campo ${\displaystyle {\vec {B}}}$ associado a este raio em específico.

O módulo do campo ${\displaystyle B={\frac {\mu _{0}I}{2\pi [{\sqrt {(x^{2}+y^{2})}}]}}}$ 

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. =

decai com aumento da distância ao fio, ou seja, com o raio da circunferência, conforme visto.

O termo entre parênteses que se segue ao módulo do campo representa um vetor unitário ${\displaystyle {\vec {\hat {u}}}_{tangente}}$ tangente à circunferência. Isto é melhor visualizado lembrando-se que ${\displaystyle [{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}]={\frac {y}{r}}}$ representa o seno do ângulo ${\displaystyle \theta }$ entre o vetor que localiza o ponto em questão a partir do fio e o eixo X, e que a expressão seguinte que acompanha o vetor ${\displaystyle {\vec {\hat {j}}}}$ representa o cosseno do mesmo ângulo.

${\displaystyle {\vec {\hat {u}}}_{tang.circ.}=-sen(\theta ).{\vec {\hat {i}}}+cos(\theta ).{\vec {\hat {j}}}}$

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. =

O sinal de menos que acompanha o fator multiplicando o unitário ${\displaystyle {\vec {\hat {i}}}}$ garante a validade da regra da mão direita à situação.

Viu-se que o campo não tem componente paralela ao fio, ou seja, na direção unitária ${\displaystyle {\vec {\hat {k}}}}$, e por tal o vetor campo magnético está sempre confinado a planos paralelos ao plano XY. Tal observação permite escrever o mesmo campo também em coordenadas polares, onde o mesmo se escreve:

${\displaystyle {\vec {B}}={\frac {\mu _{0}I}{2\pi r}}{\vec {\hat {\theta }}}}$

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. =

Neste sistema de coordenadas bidimensional os vetores unitários são ${\displaystyle {\vec {\hat {r}}}}$ em direção radial e ${\displaystyle {\vec {\hat {\theta }}}}$ em direção perpendicular ao primeiro. Vê-se que a escolha de um sistema de coordenadas que explore a simetria do campo em questão pode simplificar em muito sua expressão matemática. A expressão inicial para ${\displaystyle {\vec {B}}}$ relativa ao sistema de coordenadas cartesiano é visivelmente igual à anterior uma vez visto que entre os sistemas cartesiano e polar há as seguintes relações:

${\displaystyle {\vec {\hat {\theta }}}=[-{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}]{\vec {\hat {i}}}+[{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}]{\vec {\hat {j}}}=-sen(\theta ).{\vec {\hat {i}}}+cos(\theta ).{\vec {\hat {j}}}}$

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. =

${\displaystyle {\vec {\hat {r}}}=[{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}]{\vec {\hat {i}}}+[{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}]{\vec {\hat {j}}}=cos(\theta ).{\vec {\hat {i}}}+sen(\theta ).{\vec {\hat {j}}}}$

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. =

${\displaystyle {\vec {r}}=r.{\vec {\hat {r}}}=x{\vec {\hat {i}}}+y{\vec {\hat {j}}}}$

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. =

${\displaystyle r=|{\vec {r}}|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. =

Representação gráfica[editar | editar código-fonte]

Representação gráfica de um campo vetorial. O módulo do vetor campo no ponto é proporcional ao seu comprimento na representação.

Um quadrupolo magnético.

A representação gráfica rigorosa do campo magnético deveria compor-se pela representação de uma quantidade infinita de vetores - uma para cada ponto do espaço - no diagrama que representa o espaço em questão. Como isto é praticamente impossível, é de praxe representar-se apenas um número significativo de vetores - usualmente o menor número possível de forma a garantir-se a compreensão do comportamento do campo em questão no espaço considerado sem contudo comprometer a legibilidade do diagrama. Neste diagrama, cada vetor é desenhado no respectivo ponto a qual associa-se de forma que seu módulo seja proporcional ao seu comprimento no diagrama.

A figura ao lado fornece um exemplo da representação de um campo vetorial. Embora não específica ao magnetismo, seu campo é próximo do que se espera encontrar em um quadrupolo magnético com os polos localizados nos vértices da moldura.

Linhas de campo magnético[editar | editar código-fonte]

Olhando-se para os diagramas vetoriais que representam os campos de grandezas físicas vetoriais como o campo elétrico e o campo magnético facilmente percebe-se que os diversos vetores representativos destes campos, quando adequadamente desenhados, sugerem que os mesmos ordenam-se seguindo um padrão de linhas no diagrama. Em verdade percebeu-se que este padrão de linhas poderia constituir uma representação gráfica bem mais simples dos mesmos campos vetoriais considerados. É desejado que nesta representação por linhas não se perca nenhuma informação antes contida na representação original, contudo. Para que isto tornar-se possível, alguns critérios foram estabelecidos para representar-se um campo vetorial através das chamadas linhas de campo:

• o vetor campo em um dado ponto do espaço deve ser sempre tangente à linha de campo que passe por este ponto;
• as linhas devem ser orientadas em acordo com a orientação do vetor tangente em qualquer pondo em consideração;
• o módulo do vetor em um ponto deve ser proporcional à densidade volumétrica de linhas de campo na região em torno deste ponto.

Com tais observações é possível construir uma representação para o campo vetorial baseada apenas em linhas e não em representações dos vetores em si. Contudo a ideia central não pode ser esquecida: a grandeza fisicamente significativa é o vetor em cada ponto do espaço e não as linhas de campo em si, devendo o vetor ser inferido a partir da representação por linhas sempre que se fizerem necessárias aplicações do campo para soluções de problemas.

A representação mais comum de campos vetoriais é certamente a representação por linhas. As linhas representativas de um campo magnético são conhecidas como linhas magnéticas, ou linhas de campo magnético. Um nome inadequado é ainda utilizado, contudo sua utilização deve ser fortemente desencorajada: trata-se das famosas "linhas de força". O campo magnético não é um "campo de forças", embora este possa ser inferido a partir de um campo de "forças magnéticas máximas" que atuam sobre uma carga elétrica em movimento ao passar por cada ponto da região em questão. Repare que as linhas representativas do "campo de força magnética máxima" seriam perpendiculares às linhas que representam o campo magnético em si visto que a força magnética é sempre perpendicular ao vetor campo magnético no ponto em consideração (${\displaystyle {\vec {F_{M}}}=q{\vec {v}}\times {\vec {B}}}$).

Abaixo tem-se a representação do campo magnético produzido por um dipolo magnético mediante a representação por linhas bem como sua representação algébrica. Repare que o campo é mais intenso perto do dipolo e mais fraco à distâncias maiores: as linhas se afastam umas das outras a medida que a distância ao dipolo aumenta. O campo é particularmente intenso nos lados direitos e esquerdo do dipolo, ou seja, nos polos magnéticos, e menos intensos em regiões externas a este ao longo de uma linha vertical que passe pelo seu centro. As linhas são orientadas, conforme pode-se observar, segundo a orientação dos vetores campo magnético existentes em cada ponto do espaço devidos ao dipolo.

O dipolo e o campo magnéticos[editar | editar código-fonte]

O dipolo magnético, quer intrínsecos quer extrínsecos, está no cerne da compreensão dos fenômenos magnéticos. Compreender sua relação com o campo magnético é fundamental à teoria associada.

Campo magnético de um dipolo[editar | editar código-fonte]

Comparação entre os campos magnéticos produzidos por um dipolo extrínseco (uma espira ou compacto solenoide) e por um dipolo intrínseco (puntual).

Dipolos magnéticos são certamente fontes de campos magnéticos e também sofrem o efeito desses quando em regiões onde os mesmo encontrem-se presentes.

Dado um dipolo magnético com dimensões desprezíveis situados na origem, o campo magnético por ele produzido em qualquer ponto ao seu redor pode ser determinado através da expressão:

${\displaystyle {\vec {B}}_{({\vec {r}})}={\frac {\mu }{4\pi }}{\frac {1}{r^{3}}}[3({\vec {m}}.{\vec {\hat {r}}}){\vec {\hat {r}}}-{\vec {m}}]}$^[22]

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. =

onde ${\displaystyle \mu }$ representa uma constante que caracteriza magneticamente o meio no qual o momento de dipolo magnético encontra-se imerso - a permeabilidade magnética do meio, para o vácuo igual a ${\displaystyle \mu =\mu _{0}=4\pi \times 10^{-7}N/{A^{2}}}$ (newtons por ampère quadrado, o mesmo que henry por metro [H/m]) - ; ${\displaystyle {\vec {m}}}$ representa o momento de dipolo magnético conforme definido em seção anterior; ${\displaystyle {\vec {r}}}$ representa o vetor que localiza o ponto onde calcula-se o campo em relação ao dipolo magnético, dipolo suposto aqui situado na origem do sistema de coordenadas; ${\displaystyle {\vec {\hat {r}}}}$ representa o vetor unitário ${\displaystyle {\vec {u}}_{r}={\vec {r}}/r}$ (módulo igual a 1, adimensional) direcionado do ponto onde se encontra o dipolo magnético até o ponto onde quer-se determinar o campo (${\displaystyle {\vec {\hat {r}}}={\vec {u}}_{r}={\vec {r}}/r}$); r representa o módulo do vetor ${\displaystyle {\vec {r}}}$, ou seja, a distância em linha reta entre o dipolo e o ponto em questão, e ${\displaystyle {\vec {B}}_{({\vec {r}})}}$ representa o campo magnético no ponto definido por ${\displaystyle {\vec {r}}}$. O "." refere-se aqui ao produto escalar de dois vetores.

Conforme escrita esta equação não encontra-se atrelada a um dado sistema de coordenadas em específico. É contudo usual orientar-se o momento de dipolo no sentido do eixo z tanto em um sistema de coordenadas polar como cartesiano.

O campo magnético produzido por um dipolo magnético extrínseco assemelha-se em muito - quando a grandes distâncias destes - ao campo magnético produzido por um dipolo intrínseco. A figura ao lado mostra esta comparação, expressando o campo magnético em torno desses através da usual representação por linhas de campo. No início tem-se a representação de um campo produzido por uma espira de corrente macroscópica, com a corrente "entrando" na folha de papel - ou tela - no lado inferior (círculo com um "X") e saindo dessa no lado superior (círculo com um ponto central). Reduzindo-se gradualmente as dimensões dessa espira, contudo mantendo-se o mesmo valor de momento de dipolo total, tem-se ao fim o campo de um dipolo magnético puntual ou intrínseco - então representado por uma pequena seta, ao centro.

Movendo-se em direção radial para longe do dipolo, para distâncias não muito próximas a esse o campo magnético que esse produz decai não com o quadrado mas sim com o cubo da distância ao mesmo. A título de informação, o campo elétrico oriundo de um dipolo elétrico comporta-se de maneira idêntica, sendo descrito por equação estruturalmente análoga.

Dipolo em um campo magnético[editar | editar código-fonte]

Torque sofrido por uma espira percorrida por uma corrente i quando imersa em um campo magnético ${\displaystyle {\vec {B}}}$.

Colocando-se um momento de dipolo magnético puntual em um ponto do espaço onde haja um campo magnético ${\displaystyle {\vec {B}}}$ de origem externa, este dipolo magnético ficará sujeito a um torque que tende a fazê-lo girar e orientar-se em acordo com a direção do campo magnético externo. A bússola, imersa no campo magnético da terra, representa uma excelente aproximação da situação. O torque que faz o eixo de um motor elétrico girar corresponde justamente ao torque aplicado sobre o momento de dipolo magnético associado às espiras condutoras presas ao eixo (o rotor) quando imersas no campo magnético oriundo de ímãs permanentes ou eletroímãs fixos à carcaça do mesmo (as assim chamadas bobinas de campo).

O torque sofrido pelo dipolo puntual ${\displaystyle {\vec {m}}}$ imerso em um campo magnético ${\displaystyle {\vec {B}}}$ pode ser calculado como:

${\displaystyle {\vec {\tau }}={\vec {m}}\times {\vec {B}}}$^[1]

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. =

onde novamente tem-se o produto vetorial presente. O torque assim calculado é um vetor que aponta ao longo do eixo de rotação do dipolo, sendo a rotação do mesmo e o sentido do torque relacionados pela regra da mão direita: posto o dedão em direção e sentido análogos ao do vetor torque, o movimento estabelecido ao fechar-se a mão fornece o sentido de rotação do dipolo imposto por este torque.

A figura ao lado representa a situação de uma espira percorrida por uma corrente i quando imersa em um campo magnético ${\displaystyle {\vec {B}}}$. A espira é vista em corte transversal, mostrando-se na parte inferior esquerda a seção do condutor solicitado pela corrente i entrando no papel (ou tela), e na parte superior direita a seção do condutor solicitado pela mesma corrente i, contudo agora já orientada de forma a sair do papel. Veem-se também as forças magnéticas que atuam nas respectivas seções dos condutores, o dipolo magnético ${\displaystyle {\vec {m}}}$ associado à espira como um todo, e ao centro, o torque resultante - um vetor perpendicular à tela, saindo dessa. A espira tende a girar em sentido anti-horário, de forma a alinhar os vetores ::${\displaystyle {\vec {m}}}$ e ${\displaystyle {\vec {B}}}$.

Interessante é perceber que, embora sujeito a um torque quando devidamente orientado em um campo magnético uniforme, a força resultante sobre o dipolo magnético é, em tal caso, visto que tem-se um binário de forças atuando sobre o mesmo, nula. Não observar-se-á translação do dipolo em virtude de forças magnéticas que nele atuem quando este estiver inicialmente estático em ambiente sujeito a um campo magnético uniforme. Um pequeno ímã no interior de um grande solenoide não trasladará sob ação das forças magnéticas que nele atuam. Contudo, caso o dipolo encontre-se em uma região do espaço onde o campo mostre-se não uniforme, este poderá ser solicitado por uma força magnética resultante. Tal situação encontra-se, a exemplo, quando um pequeno ímã é atraído - ou dependendo da orientação, repelido - em direção à região polar de um outro ímã obrigatoriamente não muito maior. Em tais casos é possível demonstrar-se que há uma resultante de forças atuando no dipolo, podendo esta ser determinada pela expressão:

${\displaystyle {\vec {F}}=\nabla ({\vec {m}}.{\vec {B}})}$^[1][22]

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. =

Trata-se pois do gradiente do produto escalar entre ${\displaystyle {\vec {m}}}$ e ${\displaystyle {\vec {B}}}$. Ver-se-á que este produto escalar relaciona-se à energia potencial associada à posição e orientação do dipolo quando imerso no campo no referido campo magnético.

Motores elétricos[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Motores elétricos

Motor elétrico. Torques são produzidos nas bobinas do rotor de forma a fazê-lo girar.

A figura "Motor elétrico" ao lado mostra uma aplicação prática do torque resultante sobre uma espira. Trata-se de um motor de corrente contínua. Ao centro, montado sobre o eixo em suportes específicos, encontram-se as três bobinas responsáveis por gerar os momentos de dipolo magnéticos, orientado cada qual em sentido perpendicular à respectiva face visível do suporte. Juntos, o eixo e estas três bobinas integram o rotor. Utilizam-se várias espiras aninhadas em uma formação conhecida como bobina pois desta forma seus seus momentos de dipolo magnéticos se somam, resultando em um torque de maior intensidade. O uso de várias bobinas, no caso três, tem a mesma finalidade. Na parte inferior, conectado a duas peças metálicas simetricamente opostas, um bobina fixa (a bobina de campo) é responsável por produzir o campo no qual as bobinas do rotor serão imersas. As peças metálicas são ferromagnéticas e com tais estabelece-se a configuração desejada do campo magnético, sendo este aproximadamente horizontal na região onde encontram-se as bobinas do rotor. Encontram-se também visíveis tanto o comutador (coletor e escovas) bem como os bornes para a ligação do aparelho a uma fonte de corrente elétrica externa responsável pela alimentação do mesmo. O comutador é necessário para manter o torque sempre em mesmo sentido. Ele alterna as bobinas de forma a manter aquela(s) com o torque em sentido desejado sempre ligada(s) e a(s) que estaria(m) implicando torque em sentido contrário desligadas. Sem ele, em vez de girar, o rotor tenderia a oscilar em torno do ponto no qual o momento de dipolo magnético de uma de suas bobinas alinha-se com o campo magnético oriundo da bobina de campo.

Os princípios de funcionamento envolvidos em motores de corrente alternada costumam ser mais elaborados, havendo casos em que as bobinas do rotor bem como o comutador que as alimenta são completamente eliminados. O rotor constitui-se então por peça metálica condutora única (não magnética), e correntes são nele estabelecidas através do processo de indução magnética. Contudo a ideia central permanece a mesma: um torque de origem magnética faz o rotor girar.

Lei de Biot-Savart[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Lei de Biot-Savart

Lei de Biot-Savart. Um condutor curvo transportando uma corrente i (em azul) é dividido em seções devidamente representadas pelo vetor diferencial de caminho ${\displaystyle {\vec {ds}}}$ (em vermelho). O elemento de corrente ${\displaystyle i{\vec {ds}}}$ (em preto) é representado por um vetor de módulo i vezes maior, na mesma direção e sentido estabelecidos por ${\displaystyle {\vec {ds}}}$. Vê-se também o vetor ${\displaystyle {\vec {r}}}$ que localiza o ponto onde calcula-se o campo em relação à seção ${\displaystyle {\vec {ds}}}$ bem como o vetor ${\displaystyle {\vec {dB}}}$ resultante (ambos em preto), este perpendicular tanto a ${\displaystyle i{\vec {ds}}}$ como a ${\displaystyle {\vec {r}}}$ .

Correntes elétricas são a fonte primária de campos magnéticos. É certamente necessário pois que, dada uma distribuição de correntes conhecida, se possa calcular o campo magnético por ela produzido em um determinado ponto escolhido do espaço ao seu redor. A resposta a esta questão é fornecida pela lei de Biot-Savart.

Assumindo, sem perda de generalidade, que a distribuição de correntes seja representada por um condutor elétrico de espessura desprezível qualquer, e que esteja a transportar um corrente elétrica de intensidade i, dividindo-se este em infinitas seções de comprimento infinitesimal ds, cada seção devidamente representada e orientada por um diferencial de caminho ${\displaystyle {\vec {ds}}}$, é possível associar-se a cada uma de suas seções um elemento de corrente ${\displaystyle i{\vec {ds}}}$ definido pelo produto entre o diferencial de caminho que representa a seção e a intensidade da corrente i que esta transportada. O elemento de corrente é pois um vetor tangente ao condutor no ponto em que este é definido.

Dado um elemento de corrente específico, este elemento de corrente certamente produz no espaço ao seu redor um campo magnético. O diferencial de campo magnético ${\displaystyle {\vec {dB}}}$ que este elemento de corrente produz em um ponto do espaço situado a uma distância r deste segundo uma direção e sentido estabelecidos pelo vetor unitário ${\displaystyle {\vec {u_{r}}}={\vec {r}}/r}$ é, segundo a lei de Biot-Savart, calculado por:

${\displaystyle d{\vec {B}}=k{\frac {i{\vec {ds}}\times {\vec {u_{r}}}}{r^{2}}}=k{\frac {i{\vec {ds}}\times {\vec {r}}}{r^{3}}}}$^[1]

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. =

Repare que o vetor ${\displaystyle {\vec {r}}}$ presente na lei de Biot-Savart localiza um dado ponto do espaço onde calcula-se o campo em relação ao elemento de corrente que o produz, e não em relação à origem do sistema de coordenadas. Trata-se pois do negativo do vetor que localiza o elemento de corrente em relação ao ponto onde calcula-se o campo, e não em relação à origem do sistema de coordenadas, salvo caso onde os dois pontos coincidam.

A constante de proporcionalidade k presente na lei de Biot-Savart depende do meio no qual encontram-se imersos a distribuição de correntes e o ponto onde calcula-se o campo. Essa constante relaciona-se com a permeabilidade magnética do meio ${\displaystyle \mu }$ através da expressão:

k = ${\displaystyle ({\frac {\mu }{4\pi }})}$

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. =

cujo valor é, para o vácuo:

${\displaystyle k=k_{0}=1\times 10^{-7}T.m/A}$

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. =

A permeabilidade magnética do vácuo é, como espera-se:

${\displaystyle \mu _{0}=4\pi \times 10^{-7}T.m/A}$

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. =

^[1]Sabendo-se o campo 

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

magnético produzido por cada elemento de corrente em um dado ponto do espaço, pode-se calcular o campo magnético total neste ponto somando-se, ou seja, integrando, as contribuições de todos os elementos de corrente associados à distribuição de correntes dada:

Há inúmeros exemplos de aplicações da Lei de Biot-Savart apresentados na literatura.^[1][22] Exemplos podem também ser consultados no artigo específico sobre o assunto nessa própria enciclopédia.

A "Lei de Coulomb magnética"[editar | editar código-fonte]

A lei de Biot-Savart iguala-se à lei de Coulomb para o caso elétrico ao considerar-se que o diferencial de força magnética ${\displaystyle {\vec {dF}}}$ que atua sobre o elemento de corrente ${\displaystyle i'{\vec {ds'}}}$ quando em um ponto onde há um campo magnético ${\displaystyle {\vec {B}}}$ é dada por:

${\displaystyle {\vec {dF}}=i'{\vec {ds'}}\times {\vec {B}}}$^[1]

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

Nestes termos, em vista da lei de Biot-Savart, a força existente entre dois elementos de corrente devido apenas à interação magnética entre os mesmos vale:

${\displaystyle {\vec {dF}}={\frac {\mu }{4\pi }}.{\frac {i'{\vec {ds'}}\times i{\vec {ds}}\times {\vec {u_{r}}}}{r^{2}}}}$

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

onde ${\displaystyle {\vec {u_{r}}}}$ é um vetor unitário apontando do elemento ${\displaystyle i{\vec {ds}}}$ para o elemento ${\displaystyle i'{\vec {ds'}}}$, e r representa o valor da distância entre eles.

Embora não diretamente análoga à expressão da lei de Coulomb visto que tem-se na presente expressão um duplo produto vetorial e não produtos escalares, a semelhança entre as duas é evidente: a força magnética entre dois elementos de corrente decai, da mesma forma que a força elétrica entre duas cargas, com o quadrado da distância que os separa. Quanto à aplicação, há de se lembrar que, ao contrário das cargas elétricas, que podem existir e existem como entidades puntuais, um elemento de corrente não existe isolado, havendo em geral um circuito de corrente a ser considerado - no qual o elemento de corrente representa apenas uma diminuta parte. Assim, uma integral - em verdade duas integrais - fazem-se necessárias ao se calcular a força magnética entre dois destes circuitos: uma para determinar-se o campo ${\displaystyle {\vec {B}}_{({\vec {r}})}}$ existente em cada ponto ${\displaystyle {\vec {r}}}$ do espaço devido ao primeiro circuito (o circuito sem " ' ") - a integral descrita acima - e outra para se determinar a força resultante sobre o segundo circuito (o circuito " ' "):

${\displaystyle {\vec {F}}=\int {\vec {dF}}=\int i'{\vec {ds'}}\times {\vec {B}}_{({\vec {r}})}}$

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

Na maioria dos casos estas integrais mostram-se certamente laboriosas de se fazer, contudo, da mesma forma que a existência de simetria facilita em muito as soluções dos problemas associados no caso elétrico - a citar-se as aplicações da lei de Gauss como exemplo - a existência de simetria tanto no circuito fonte do campo magnético como no circuito sob influência deste pode igualmente ser, e geralmente é, explorada de forma a simplificar em muito as soluções dos problemas correlatos.

Ferramenta indispensável em tal processo, a Lei de Ampère para o caso magnético desempenha papel semelhante ao da lei de Gauss para no caso elétrico.

Leis de Ampère e Gauss[editar | editar código-fonte]

A Lei de Ampère: embora todas as correntes sejam importantes para a determinação do campo magnético ${\displaystyle {\vec {B}}}$ em um dado ponto, apenas correntes internas ao circuito de ampère contribuem efetivamente para o valor da integral de linha do campo magnético sobre o circuito de ampère escolhido.

Ver artigos principais: Lei de Ampère e Lei de Gauss

No estudo do eletromagnetismo e em suas subáreas são particularmente importantes como ferramentas dois teoremas oriundos do cálculo integral e diferencial - teoremas em particular ligados ao cálculo vetorial - respectivamente nomeados Teorema de Stokes^{[nota 5]} e de Teorema de Gauss. Estes teoremas basicamente relacionam a integral (ou seja, a "soma") de uma dada grandeza "bem comportada" ao longo da fronteira que delimita uma dada região fechada do espaço considerado e a integral de uma segunda grandeza presente na região interna à fronteira e por essa definida. Se o espaço a se considerar é uma superfície, a fronteira é uma linha curva fechada que forma a borda da região por ela demarcada e tem-se em tal caso o teorema de Stokes: uma integral de caminho de uma dada grandeza ao longo do perímetro mostra-se proporcional a uma integral de superfície de uma segunda grandeza ao longo da área da região definida por esta fronteira. Se a região em questão consiste em um volume tridimensional, a fronteira é uma superfície fechada imersa no espaço tridimensional, e associado tem-se então o teorema de Gauss: uma integral de superfície de uma grandeza ao longo da fronteira mostra-se proporcional a uma integral de volume de uma segunda grandeza ao longo de todo o espaço tridimensional confinado.

As duas grandezas consideradas anteriormente certamente não podem ser escolhidas a esmo, devendo as mesmas satisfazerem a certas condições bem definidas, e certamente encontram-se relacionadas entre si, pois com a aplicação de tais teoremas pretende-se justamente determinar tal relação.^{[nota 6]} Ambos os teoremas têm suas aplicações tanto em eletrostática quanto em magnetostática, e também estão notoriamente presentes nas equações de Maxwell para o eletromagnetismo.

A Lei de Ampère para a magnetostática consiste basicamente na aplicação do teorema de Stokes para o caso em que a grandeza integrada na fronteira é o vetor campo magnético ${\displaystyle {\vec {B}}}$, e a grandeza integrada ao longo da superfície é a densidade superficial de corrente ${\displaystyle {\vec {j}}}$.

${\displaystyle \oint _{perim.}{\vec {B}}{\vec {dl}}=\mu _{0}\int _{sup.}{\vec {j}}{\vec {da}}=\mu _{0}I_{enc.}}$^[1][22]

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

A densidade superficial de corrente simplesmente mede a quantidade de carga elétrica (em coulombs) que atravessa um diferencial de área ${\displaystyle {\vec {da}}}$ (cuja unidade é o metro quadrado) por unidade de tempo (medido em segundos), ou seja, o corrente (em ampères) que flui em direção perpendicular - de forma a atravessar - à superfície da área infinitesimal considerada. Esta integral, conforme percebe-se, dá por resultado a corrente total que flui através da área encerrada pela fronteira, uma vez que soma as correntes por diferencial de área ao longo de todos os diferenciais de área na qual se divide a superfície em questão.

A integral do campo magnético ao longo do caminho simplesmente projeta o campo magnético em cada ponto da fronteira na direção paralela à fronteira naquele ponto, ou seja, na direção do diferencial de caminho ${\displaystyle {\vec {dl}}}$ que define a fronteira naquele ponto, e posteriormente soma o produto ${\displaystyle B_{(//)}dl}$ ao longo de uma volta completa na fronteira. Repare que a componente do campo magnético perpendicular à fronteira no ponto não é considerada, e que o resultado desta integral tem unidade equivalente à unidade de comprimento (associado ao diferencial de caminho e ao perímetro da região, em metros) multiplicado pela unidade de campo magnético (tesla).

A constante de proporcionalidade necessária para igualarem-se as integrais anteriores é, conforme visto, a permeabilidade magnética do meio - no caso o vácuo - já anteriormente considerada.

Medalhão em homenagem a André-Marie Ampère encravado na fachada da Antiga Faculdade de Medicina, Zaragoza, Espanha.

A comparação entre a forma integral da Lei de Ampère acima e a integral presente no teorema fundamental para o rotacional

${\displaystyle \int _{sup.}(\nabla \times {\vec {v}}).{\vec {da}}=\oint _{perim.}{\vec {v}}.{\vec {dl}}}$^[22]

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

onde ${\displaystyle {\vec {v}}}$ representa um campo vetorial genérico a se considerar leva ao fato de que:

${\displaystyle \int _{sup.}(\nabla \times {\vec {B}}).{\vec {da}}=\oint _{perim.}{\vec {B}}{\vec {dl}}=\int _{sup.}(\mu _{0}{\vec {j}}){\vec {da}}}$^[22]

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

onde a primeira e a última integrais podem ser comparadas diretamente. Desta comparação resulta:

${\displaystyle \nabla \times {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {j}}}$^[22]

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

Em resumo tem-se que rotacional de um campo magnético ${\displaystyle {\vec {B}}}$ em torno de um ponto é proporcional à densidade de corrente ${\displaystyle {\vec {j}}}$ naquele ponto. Tal ideia tornar-se-á clara ao se considerar o exemplo na seção seguinte no qual determina-se o campo magnético ao redor de um fio retilíneo longo conduzindo uma corrente elétrica I.

Também é importante neste e demais exemplos que se seguem perceber que a Lei de Biot-Savart e de Ampère também implicam que o divergente do campo magnético seja sempre zero,^[22] de modo que as linhas de campo magnéticas - que representam o campo magnético, um campo vetorial - são sempre linhas fechadas, e nunca têm - de forma diferente das linhas de campo elétrico - origem e término em pontos distintos do espaço. Trata-se pois da Lei de Gauss aplicada ao magnetismo, que relaciona a integral de superfície do campo magnético ${\displaystyle {\vec {B}}}$ ao longo de uma superfície fechada com a integral da densidade de carga magnética no volume interno à superfície, ou seja, com a carga magnética total imersa no respectivo volume. Afirma basicamente que não há monopolos magnéticos (cargas magnéticas), de forma que a primeira integral deve igualar-se a zero pois a segunda empiricamente o é.

Em vista dos teoremas da divergência e do rotacional, para campos magnetostáticos, em suas respectivas formas diferenciais:

• Lei de Gauss: ${\displaystyle \nabla .{\vec {B}}=0}$^[22]
• x
• FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

• Lei de Ampère: ${\displaystyle \nabla \times {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {j}}}$^[22]
• x
• FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

As mesmas leis em suas respectivas formas integrais se tornam:

• Lei de Gauss: ${\displaystyle \oint _{sup.}{\vec {B}}{\vec {da}}=0}$^[1][22]
• x
• FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 
• 
  

• Lei de Ampère: ${\displaystyle \oint _{perim.}{\vec {B}}{\vec {dl}}=\mu _{0}\int _{sup.}{\vec {j}}{\vec {da}}=\mu _{0}I_{enc.}}$^[1][22]
• x
• FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

Um pouco mais além[editar | editar código-fonte]

Estátua em homenagem a James Clerk Maxwell encerrando as Equações de Maxwell em sua forma válida para meios materiais. A inscrição encontra-se acessível ao fim da "George Street" junto à praça St. Andrew, em Edimburgo, capital da Escócia.

James Clerk Maxwell expandiu a Lei de Ampère para os casos envolvendo campos elétricos variáveis basicamente afirmando que campos elétricos variáveis também criam, assim como correntes, campos magnéticos, e que por tal influem no resultado da integral de linha do campo magnético ao longo do circuito de ampère caso haja no interior deste circuito um campo elétrico variando no tempo.

A título de ilustração apenas - por estar fora do escopo do presente artigo - para campos eletromagnéticos as leis de Ampère com a correção de Maxwell e a Lei de Gauss são, respectivamente:

${\displaystyle \nabla \times {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {j}}+\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}}$^[22]

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

${\displaystyle \nabla .{\vec {B}}=0}$^[22]

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

onde ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ representa a permissividade elétrica do vácuo, ${\displaystyle {\vec {E}}}$ representa o campo elétrico, "t" representa o tempo, e a correção de Maxwell é expressa em termos de derivada parcial do campo elétrico em relação ao tempo.

Maiores detalhes podem ser obtidos pesquisando-se as Equações de Maxwell para o eletromagnetismo.

Andando em círculos[editar | editar código-fonte]

Tanto a lei de Biot-Savart quanto a Lei de Ampère encerram em si as mesmas informações, e são, por tal, equivalentes. Partindo-se de uma é possível, após alguns cálculos matemáticos, obter-se a outra. O uso de uma ou outra depende da situação. A Lei de Ampère talvez seja a mais conhecida e aplicada em virtude desta mostrar-se muito útil e simples em situações onde a simetria envolvida colabora, e por ser esta a forma a figurar nas famosas equações de Maxwell. Ver-se-á em seguida a aplicação da mesma a alguns casos específicos de importância prática relevante, contudo a solução em vista da Lei de Biot-Savart também é plenamente acessível, sendo apresentada com frequência na literatura.^[1][22]

O campo magnético e o fio retilíneo[editar | editar código-fonte]

Linhas de campo magnético ao redor de um condutor de corrente elétrica I. A corrente a se considerar é, conforme polaridade indicada, a corrente convencional.

O exemplo mais comum da aplicação da Lei de Àmpere presente na literatura refere-se certamente à determinação do campo magnético ao redor de um fio retilíneo suficientemente longo ("infinito") conduzindo uma corrente elétrica I.^[1][22] Sua solução começa por escolher-se o circuito de ampère, um caminho imaginário circundando o fio que, conforme sugerido pela simetria inerente ao problema, é sempre escolhido como uma circunferência inscrita em um plano que seja perpendicular ao fio, com o fio ao centro desta. Tal escolha acarreta consideráveis simplificações nos cálculos visto que é esperado que o campo magnético tenha tal configuração em torno do fio tanto por razões práticas quanto por razões teóricas: a densidade de corrente neste caso confina-se ao centro da circunferência, sendo perpendicular ao plano que contém esta última; logo, o rotacional do campo deve ser proporcional à mesma, o que implica que o campo magnético deve "girar" em torno do fio conforme orientação dada mais uma vez pela regra da mão direita, estando o vetor campo magnético ${\displaystyle {\vec {B}}}$ sempre contido no plano em questão. Por razões de simetria o valor de ${\displaystyle {\vec {B}}}$ será o mesmo sobre qualquer ponto da circunferência. Acrescendo-se considerações sobre as propriedades do campo magnético, não espera-se que haja componente do campo magnético perpendicular ao circuito de ampère, ou seja, em direção radial, o mesmo aplicando-se para componente em direção axial (ou seja, paralela ao fio).

Nestes termos tem-se ${\displaystyle {\vec {B}}}$ paralelo ao diferencial de caminho ${\displaystyle {\vec {dl}}}$, sendo este último, em virtude de sua definição, também tangente à circunferência. O produto vetorial ${\displaystyle {\vec {B}}.{\vec {d}}l}$ reduz-se ao produto escalar ${\displaystyle B.dl}$ pois ${\displaystyle {\vec {B}}}$ e ${\displaystyle {\vec {dl}}}$ são paralelos e B tem o mesmo valor ao longo de todos os pontos da circunferência de ampère escolhida - cujo raio vale r. Tem-se pois que a integral de caminho vale:

${\displaystyle \oint _{perim.}{\vec {B}}.{\vec {dl}}=\int B.dl=B\int dl=2\pi rB}$

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

onde a integral do diferencial de caminho dl ao longo do perímetro resulta obviamente no perímetro da circunferência, ${\displaystyle C=2\pi r}$. Tal integral deve, segundo a Lei de Ampère, igualar-se à ${\displaystyle \mu _{0}I_{Encer.}}$, donde tem-se que:

${\displaystyle 2\pi rB=\mu _{0}I}$, o que implica:

${\displaystyle B={\frac {\mu _{0}I}{2\pi r}}}$^[1]

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

Que é a expressão que permite o cálculo do valor do campo magnético B a uma distância R do fio que conduz a corrente I. Em coordenadas cilíndricas tem-se pois que:

${\displaystyle {\vec {B}}={\frac {\mu _{0}I}{2\pi r}}{\vec {u_{\theta }}}}$^[22]

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

onde ${\displaystyle {\vec {u_{\theta }}}}$ é um vetor unitário perpendicular ao eixo z (ao fio) e à direção radial ${\displaystyle {\vec {u_{r}}}}$

O campo magnético e o toroide[editar | editar código-fonte]

Um toroide. As conexões à fonte de corrente não estão visíveis.

Um toroide consiste e um anel circular estilo "rosquinha de coco" em torno do qual enrola-se um longo fio condutor, obedecendo para tal sua geometria (ver figura). Nesse exemplo as espiras são uniformemente espaçadas e densas o suficiente para que o campo no interior do toroide possa ser considerado uniforme e para que cada espira possa ser considerada por si só um circuito de corrente fechado. O toroide tem núcleo de ar, o que será aproximado por vácuo.

Escolhendo-se um circuito de ampère circular que acompanhe a anatomia do toroide contudo interno a este, tem-se que a solução da integral de linha mostra-se análoga à do caso do fio retilíneo, com a diferença de que a corrente I conduzida pelo fio passa agora N vezes através da superfície delimitada pelo circuito de ampère, sempre em mesma direção - na região central do toroide. Repare que a corrente externa ao circuito de ampère - sobre o perímetro externo do toroide - não entra em consideração, tão pouco as correntes paralelas ao circuito de ampère - nas partes superior e inferior do toroide - pois estas não "furam" a superfície delimitada pelo circuito de ampère. Assim, para um toroide de raio interno "a" e raio externo "b" tem-se:^[22]

r < a : ${\displaystyle {\vec {B}}}$ = vetor nulo

a < r < b : ${\displaystyle {\vec {B}}={\frac {\mu _{0}NI}{2\pi r}}{\vec {u_{\theta }}}}$^[1][22]

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

r > b : ${\displaystyle {\vec {B}}}$ = vetor nulo

onde N representa o número de espiras do toroide e r representa a distância do ponto onde se determina o campo até o eixo de simetria (centro) do toroide.

Vale ressaltar que esse é o campo para um toroide com espiras compactas e núcleo de ar. O campo magnético no interior do toroide com núcleo material é devido não apenas à corrente nas espiras como também à magnetização induzida no material que compõe o seu núcleo. Nesse caso a Lei de Ampère permite o cálculo não do campo magnético ${\displaystyle {\vec {B}}}$ propriamente dito^{[nota 7]} mas sim o de um campo auxiliar ${\displaystyle {\vec {H}}}$ - sendo esse e não o campo ${\displaystyle {\vec {B}}}$ por vezes nomeado campo magnético por alguns autores.

Ao campo ${\displaystyle {\vec {B}}}$ reserva-se então outros nomes tais como "densidade de fluxo magnético" ou "indução magnética" - fato que gera por certo recorrente confusão quanto às designações^{[nota 8][nota 9]} Esse campo auxiliar, aqui nomeado "campo excitante", "estímulo magnético", "estimulação magnética", ou simplesmente campo ${\displaystyle {\vec {H}}}$, desempenha papel importante na magnetostática, e será abordado mais adiante.

O campo magnético e o solenoide[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: solenoide

Um solenoide. O campo interno a um solenoide depende da densidade linear de espiras n e da corrente i transportada pelo fio. O campo é uniforme em seu interior. O campo externo próximo ao solenoide pode ser aproximado por zero.

Um solenoide consiste em uma hélice de fio com extremos conectados a uma fonte de corrente elétrica. Tratar-se-á aqui de um solenoide bem longo com espiras compactas, e determinar-se-á o campo nas regiões internas e distantes dos extremos do mesmo.

Imaginando-se um circuito de ampère retangular inscrito em um plano que contenha o eixo do solenoide e posicionado de forma a envolver um número significativo nL espiras deste solenoide em uma região próxima ao seu centro axial, desenhado de forma a ter-se um dos lados deste circuito de ampère interno e o outro externo ao solenoide, tem-se que a integral de linha ao se percorrer este circuito mostrar-se-á igual a B multiplicado pelo comprimento (e não pelo perímetro) L deste circuito. Aqui n representa o número de espiras por unidade de comprimento do solenoide, de forma que nL representa o número de espiras confinado no circuito de ampère em questão. Tem-se também que a espessura deste circuito pode ser desprezada visto que pode ser feita tão pequena quanto se queira, o que significa em termos práticos assumir-se um fio com espessura desprezível perto ao comprimento L escolhido para o cálculo. Para tal cálculo usou-se que o campo magnético de um solenoide "infinito" deve mostra-se paralelo ao seu eixo tanto interna quanto externamente, e que em verdade o valor do campo B do lado externo do solenoide "infinito" é igual a zero, fatos plenamente justificados em virtude da simetria envolvida.^[1][22] Nesses termos:

${\displaystyle \oint {\vec {B}}{\vec {dl}}=BL=\mu _{0}I_{Encer.}=\mu _{0}(nL)i}$^[1]

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

O que resulta em:

${\displaystyle B=\mu _{0}ni}$^[1]

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

onde n é representa o número de espiras por unidade de comprimento do solenoide e i representa a corrente transportada pelo fio deste.

O campo em regiões internas próximas ao centro axial de um solenoide é, conforme determinado, uniforme tanto em módulo como em direção e sentido, o que o torna um significativo instrumento no estudo e aplicações da magnetostática quando há necessidade de se produzir campos magnéticos dessa natureza. Nos aparelhos de ressonância magnética nuclear, a exemplo, tem-se um potente solenoide envolvendo a amostra ou paciente sob exame.

Fluxo magnético e indutância[editar | editar código-fonte]

Contando as linhas de campo[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Fluxo magnético

Visto que o divergente do campo magnético é nulo, o fluxo através da superfície S2 é sempre igual ao fluxo através da superfície S1.

Conforme visto, a Lei de Gauss aplicada ao magnetismo estabelece que a integral de superfície do campo magnético sobre uma área fechada vale zero. Conduto pode-se pensar na mesma integral em áreas abertas, sendo a mesma então uma equação constitutiva para uma grandeza escalar nomeada fluxo magnético ${\displaystyle \Phi }$:

${\displaystyle \Phi =\int {\vec {B}}{\vec {da}}}$

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

A unidade de fluxo magnético é, pois, dada pelo produto entre as unidades das grandezas envolvidas, ou seja, entre a unidade de campo magnético e a unidade de área. No Sistema Internacional de Unidades, o fluxo mede-se em weber, em clara homenagem ao físico Wilhelm Eduard Weber.

[${\displaystyle \Phi }$] = weber = tesla metro quadrado = Wb = T.m²

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

A Lei de Gauss pois afirma que o fluxo magnético através de qualquer superfície fechada é nulo.

Para superfícies abertas em regiões onde haja um campo unidirecional, o fluxo é tanto maior quanto maior o campo magnético onde esta se encontra, e tanto maior quanto maior a área determinada por seu perímetro. A orientação entre a superfície e o campo mostra-se também importante: dada uma área plana A, o fluxo será máximo quando a superfície estiver orientada de forma perpendicular ao campo magnético (ou seja, com o vetor área paralelo ao campo), e será nulo caso a superfície mostre-se paralela ao campo (ou seja, com o vetor área perpendicular ao campo). Para superfícies planas imersas em campos uniformes a integral anterior resulta:

${\displaystyle \Phi =BAcos(\theta )}$

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

onde ${\displaystyle \theta }$ representa o ângulo entre o vetor área e o campo magnético em questão.

Assumida uma representação do campo através de linhas de campo, pode-se simploriamente entender o fluxo como uma grandeza diretamente proporcional ao número líquido de linhas da representação que "furaram" a superfície considerada em um dado sentido, ressaltado por tal o fato que uma linha passando através desta superfície em um sentido "contrário" ao definido como positivo "cancela" uma linha passando em sentido favorável.

Variando-se o ângulo entre a superfície e o campo magnético altera-se o fluxo magnético através da mesma.

Assumindo-se uma região de campo uniforme e uma área plana cujo fluxo não se mostre inicialmente nulo, aumentando-se a área desta superfície espera-se que o número liquido de linhas aumente, e por tal também o fluxo. Caso o campo torne-se mais intenso, este deverá ser representado por uma densidade maior de linhas, o que também acarreta aumento no número de linhas que furam uma mesma área na representação considerada, e por tal um aumento no fluxo. Mesmo mantendo-se a área e o campo constantes pode-se também fazer o fluxo variar, bastando para tal girar a área em torno de um eixo nesta contido e adequadamente escolhido de forma que este se mostre perpendicular ao campo magnético na região. Em essência, isto significa fazer o ângulo ${\displaystyle \theta }$ entre o vetor área e o campo variar, e por tal também o fluxo. Tal mecanismo de variação de fluxo é o que se encontra presente nos geradores de eletricidade uma vez que é requerida, em acordo com a Lei de Faraday, uma constante variação de fluxo para o funcionamento adequado dos mesmos.

Uma questão de geometria[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Indutância

Indutores utilizados em circuitos eletrônicos. O conhecimento da autoindutância, ou simplesmente indutância, destes componentes é de vital importância ao projetarem-se os circuitos eletrônicos onde estes mostrem-se necessários.

Uma segunda grandeza física estabelecida com base no conceito de fluxo é a indutância. A indutância relaciona o fluxo magnético produzido por um circuito elétrico em uma superfície especificada e a corrente elétrica I que se faz circular através do circuito elétrico em questão:

${\displaystyle Ind.={\frac {\Phi }{I}}}$

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

A indutância é uma grandeza física cujo valor depende apenas da geometria do circuito ou circuitos envolvidos, ou seja, trata-se de uma grandeza atrelada apenas à configuração espacial do sistema.

Há pois como se definir duas indutâncias: a autoindutância, que corresponde ao fluxo através da área delimitada por um circuito elétrico quando uma corrente I percorre esse próprio circuito, e a indutância mútua, que relaciona o fluxo através de um circuito elétrico secundário quando faz-se uma corrente elétrica I circular através do circuito elétrico primário.

A autoindutância de um solenoide de comprimento L e raio R, assumido L muito maior que R, é fácil de ser determinada visto que o campo em seu interior é constante. O fluxo através da área interna total associada às nL espiras do solenoide, cada espira representando uma área de seção reta ${\displaystyle \pi R^{2}}$ é, pois:

${\displaystyle \Phi =B.A=(\mu _{0}nI).(nL\pi R^{2})}$

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

${\displaystyle \Phi =B.A=\pi \mu _{0}n^{2}LIR^{2}}$

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

onde n representa, conforme antes discutido, a densidade linear de espiras do solenoide, e nL o número total de espiras do mesmo. A autoindutância do mesmo é:

${\displaystyle Ind._{solen.}={\frac {\Phi }{I}}=\pi \mu _{0}n^{2}LR^{2}}$^[22]

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

Repare que a indutância Ind.^{[nota 10]} depende apenas de grandezas associadas à geometria do solenoide: da densidade de espiras, ou seja, do número de espiras por unidade de comprimento n; do próprio comprimento L, do número total de espiras nL; do raio R do solenoide e do material presente em seu núcleo - no caso nenhum (vácuo) - situação adequadamente representada mediante a presença da constante ${\displaystyle \mu _{0}}$ na expressão associada.

Transformadores utilizados em circuitos eletrônicos. Vê-se claramente em alguns deles o circuito primário e o circuito secundário. Em virtude da Lei da indução de Faraday, quase todas as aplicações deste dispositivo relacionam-se a circuitos onde há a presença de correntes alternadas.

A indutância mútua é muito explorada em um dispositivo conhecido por transformador. O transformador mais simples que existe constitui-se por dois solenoides, um com raio r e outro com raio maior R, enrolados um interno ao outro com seus eixos se sobrepondo. Designando-se o circuito primário por circuito 1 e o circuito secundário por circuito 2, e com a condição de que ${\displaystyle L_{1}>>L_{2}>>R}$, vê-se que o fluxo através da superfície total determinada pelas ${\displaystyle n_{2}L_{2}}$ espiras do solenoide interno quando o solenoide externo é percorrido por uma corrente ${\displaystyle I_{1}}$ é:

${\displaystyle \Phi _{12}=B_{1}.(n_{2}L_{2})A_{2}=\mu _{0}n_{1}I_{1}.n_{2}L_{2}\pi r^{2}}$

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

de forma que a indutância mútua ${\displaystyle Ind_{12}}$ do solenoide de raio R atuando como circuito primário e do solenoide de raio r atuando como circuito secundário (através do qual o primário estabelece o fluxo) é:

${\displaystyle Ind._{12}={\frac {\Phi _{12}}{I_{1}}}=\mu _{0}\pi r^{2}n_{1}n_{2}L_{2}}$^[22]

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

que, novamente, depende apenas de grandezas geométricas envolvendo a configuração dos circuitos primário e secundário. Pode-se agora perguntar qual será a indutância mútua do circuito secundário sobre o circuito primário, ou seja, qual a ${\displaystyle Ind._{21}}$ associada aos circuitos em questão. A resposta é obtida ao considerar-se a equação fundamental para o cálculo de qualquer indutância a partir das geometrias dos circuitos fechados envolvidos:

${\displaystyle Ind._{12}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\oint \oint {\frac {{\vec {dl_{1}}}{\vec {dl_{2}}}}{|{\vec {r_{1}}}-{\vec {r_{2}}}|}}}$^[22]

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

Observando-se esta equação, conhecida como Fórmula de Neumann, vê-se que a indutância depende novamente apenas da geometria do sistema formado pelos dois circuitos, e que esses foram divididos em pedaços infinitesimais ${\displaystyle {\vec {dl_{1}}}}$ e ${\displaystyle {\vec {dl_{2}}}}$ a fim de calcular-se a "relação mútua" entre cada par de partes infinitesimais e posteriormente somar-se tudo - mediante a dupla integral - a fim de se obter a indutância mútua dos circuitos. Pode-se responder a questão anterior observando-se que a troca de papéis entre os circuitos 1 e 2 é completamente simétrica, de modo que:

“

Quaisquer que sejam as formas e as posições dos anéis de corrente, o fluxo através do circuito 2, quando se faz fluir uma corrente I através do circuito 1, é idêntico ao fluxo através do circuito 1 quando se impõe a mesma corrente I ao circuito 2.

”

ou seja, a indutância mútua ${\displaystyle Ind_{12}}$ é sempre igual à indutância mútua ${\displaystyle Ind._{21}}$.

Repare que a equação para a autoindutância de um solenoide pode ser obtida fazendo-se o circuito primário e secundário coincidentes, ou seja, supondo-se que ambos são o mesmo circuito.

Das equações acima conclui-se que as unidades tanto da autoindutância quanto da indutância mútua devem corresponder à unidade da constante ${\displaystyle \mu _{0}::}$ multiplicada por uma unidade de comprimento. Tem-se pois:

${\displaystyle [Ind.]=henry={\frac {tesla.metro^{2}}{ampere}}}$, ou seja, ${\displaystyle 1H=1{\frac {Tm^{2}}{A}}}$

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

Indutores típicos empregados em eletrônica têm indutâncias que variam de uns poucos microhenrys a alguns milihenrys, e normalmente não têm núcleos de ar. Para indutores com núcleos maciços tem-se que fazer uma correções associada às propriedades magnéticas dos materiais em seus núcleos, que, devido à magnetização, geralmente intensificam o valor do campo magnético no interior desses componentes. Deve-se para tal fazer uma correção através da permeabilidade relativa, ou seja, deve-se usar a permeabilidade magnética absoluta do material e não a do vácuo nas referidas equações para o cálculo da indutância.

A título de ilustração cita-se a indutância de um toroide retangular de raio interno a, raio externo b, altura h, formado por N voltas de fio sobre um núcleo material cuja permeabilidade absoluta ${\displaystyle \mu =k_{m}\mu _{0}}$ é ${\displaystyle k_{m}}$ vezes a permeabilidade do vácuo.

${\displaystyle Ind._{Toroide}=k_{m}({\frac {\mu _{0}N^{2}h}{2\pi }}ln{\frac {b}{a}})}$^[1]

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

A indutância de um componente com núcleo material é proporcional à indutância do mesmo componente sem núcleo material. A constante de proporcionalidade ${\displaystyle k_{m}}$ é a permeabilidade relativa do material, por vezes também nomeada ${\displaystyle \mu _{r}}$.

Um pouco mais além[editar | editar código-fonte]

A Lei da Indução de Faraday estabelece que a variação do fluxo magnético em um circuito é responsável pela indução de uma tensão elétrica nesse, sendo essa tanto maior quanto maior for a taxa com que o fluxo varia. Tem-se tal comportamento expresso via equação:

onde ${\displaystyle \mathrm {E} }$ representa a tensão elétrica verificada ao longo do perímetro que define a área a qual associa-se o fluxo magnético em questão.

A mesma lei figura nas Equações de Maxwell, em sua forma integral, como se segue.^[25]

${\displaystyle \oint _{perim.}{\vec {E}}\cdot {\vec {dl}}=-{\frac {\partial \Phi _{sup.}}{\partial t}}}$

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

Na forma diferencial essa traduz-se por:^[25]

${\displaystyle \nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}$

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

A Lei da Indução de Faraday justifica o uso quase que obrigatório de correntes alternadas ou variáveis ao se lidar com transformadores ou indutores: só há tensão e corrente elétricas induzidas no circuito secundário caso o fluxo através do mesmo esteja a variar, e em tais componentes o fluxo através do secundário varia quando a corrente através do circuito primário é feita variável. O conceito de autoindução faz com que o mesmo raciocínio aplique-se também aos indutores.

Visto que o campo elétrico induzido pela variação do fluxo não se mostra conservativo, considerações importantes quanto a esta lei atrelam-se à energia envolvida no processo e à sua conservação. Aparte o afrente abordado, este assunto foge ao escopo desse artigo e não será por tal aqui discutido. Pormenores sobre o assunto encontram-se contudo disponíveis e bem descritos no âmbito do eletromagnetismo.

Lado a lado com a corrente[editar | editar código-fonte]

Um conceito amplamente difundido no estudo dos fenômenos envolvendo campos elétricos conservativos é o conceito de potencial elétrico - especificamente, o conceito de tensão elétrica. A ideia intuitiva de se estabelecer raciocínio análogo para os fenômenos magnéticos não se mostra, entretanto, tão imediata. Em vista de o campo magnético, salvo em sistemas muito específicos, não admitir um potencial escalar para descrevê-lo, definir-se-á o então chamado "potencial magnético" como uma grandeza vetorial e não como uma grandeza escalar, e por tal este não admitirá um sentido físico tão explícito como o encontrado para o caso elétrico, o de energia associada à unidade de carga.

Mesmo sem um sentido físico diretamente expresso, o potencial magnético desempenha um papel de vital importância teórica para a compreensão dos fenômenos associados. Constitui também uma poderosa ferramenta prática para a soluções de problemas na área. Um domínio um pouco mais aprofundado sobre campos e álgebra vetoriais mostra-se, contudo, necessário. A compreensão das subseções que se seguem requer também familiaridade com operadores lineares tais como gradiente, divergente, rotacional e laplaciano.

Sobre potenciais e campos vetoriais[editar | editar código-fonte]

Na teoria dos campos vetoriais encontra-se o Teorema de Helmholtz, que em sua essência afirma: "Dadas as condições de contorno adequadas, um campo vetorial ${\displaystyle {\vec {Z}}_{({\vec {r}})}}$ é univocamente determinado uma vez conhecidos seu divergente e seu rotacional".^[22] Tem-se em verdade

${\displaystyle {\vec {Z}}_{(r)}=-\nabla V_{(r)}+\nabla \times {\vec {A}}_{(r)}}$

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

que se traduz-se por:

“

Um campo vetorial ${\displaystyle Z_{({\vec {r}})}}$ bem comportado pode sempre ser expresso como o gradiente de um campo escalar ${\displaystyle V_{(r)}}$ mais o rotacional de um segundo campo vetorial ${\displaystyle {\vec {A}}_{({\vec {r}})}}$.

”

Condições de contorno adequadas estão geralmente presentes no estudo da eletrostática e magnetostática de tal forma que os campos elétricos e magnéticos associados usualmente são expressos também em função de rotacionais e divergentes de seus respectivos campos potenciais. Considerável simplificação é neste caso observada - tanto em magnetostática quanto em eletrostática - dado o fato que o campo eletrostático é sempre irrotacional e o campo magnetostático é sempre um campo não divergente:

${\displaystyle \nabla .{\vec {B}}=0}$

${\displaystyle \nabla \times {\vec {E}}=0}$.

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

Nesses termos o campo elétrico ${\displaystyle {\vec {E}}}$ pode ser expresso apenas como o divergente de um campo escalar ${\displaystyle V{({\vec {r}})}}$ visto que o rotacional do divergente de um campo escalar é sempre nulo. Tem-se pois que ${\displaystyle V_{({\vec {r}})}}$, um campo escalar e não vetorial, carrega em si todas as informações relativas ao campo elétrico associado, o que leva diretamente ao conceito de potencial elétrico e ao conceito de tensão ou diferença de potencial elétricos:

${\displaystyle {\vec {E}}_{({\vec {r}})}=-\nabla .V_{({\vec {r}})}}$.

${\displaystyle \nabla \times {\vec {E}}=\nabla \times (-\nabla .V_{({\vec {r}})})=0}$

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

De forma similar tem-se a condição de que um campo magnético ${\displaystyle {\vec {B}}}$ pode ser expresso como o rotacional de um campo vetorial ${\displaystyle {\vec {A}}}$ visto que o divergente do rotacional é sempre nulo.

${\displaystyle {\vec {B}}_{({\vec {r}})}=\nabla \times A_{({\vec {r}})}}$.

${\displaystyle \nabla .{\vec {B}}_{({\vec {r}})}=\nabla .(\nabla \times A_{({\vec {r}})})=0}$

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

O potencial magnético[editar | editar código-fonte]

Representação por linhas do campo potencial magnético ${\displaystyle {\vec {A}}}$ (linhas vermelhas) em regiões externas a um toroide - esse visto em corte axial - quando solicitado por uma densidade de de corrente J (em amarelo). Repare que embora o campo magnético ${\displaystyle {\vec {B}}}$ (em preto) seja nulo para todos os pontos externos ao toroide, isso não implica a nulidade dos vetores do campo potencial magnético nos referidos pontos.

O campo vetorial ${\displaystyle {\vec {A}}}$ acima definido é conhecido como potencial magnético, desempenhado não de forma tão simples - visto que trata-se de um campo vetorial e não escalar - um papel em muito similar ao papel que o potencial elétrico desempenha no caso da eletrostática.

É de relevância pontuar-se aqui que o conhecimento do campo magnético ${\displaystyle {\vec {B}}}$ define qual deve ser o rotacional do campo ${\displaystyle {\vec {A}}}$, contudo nada diz a respeito da divergência deste último. Há assim vários campos vetoriais ${\displaystyle {\vec {A}}}$ que diferem entre si por parcelas associadas a campos não rotacionais quaisquer que, contudo, representam igualmente bem o campo magnético em questão. Como exemplo, todos os campos derivados de ${\displaystyle {\vec {A}}}$ mediante uma transformação de gauge

${\displaystyle {\vec {A}}=>{\vec {A}}+\nabla \psi }$^[24]

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

- onde ${\displaystyle \psi }$ é um campo escalar qualquer - são aceitáveis como campos potenciais para o mesmo campo ${\displaystyle {\vec {B}}}$ em questão visto ser o rotacional do divergente de uma função escalar sempre nulo.

Algo similar acontece em eletrostática: campos potenciais elétricos (escalares) que difiram entre si apenas pela soma ou subtração de um valor constante representam o em essência o mesmo campo elétrico. A escolha mais óbvia em ambos os casos é atribuir-se o valor zero à liberdade de escolha ofertada sempre que possível. Com a condição de que o campo potencial magnético seja escolhido como um campo rotacional puro, ou seja, que o potencial magnético ${\displaystyle {\vec {A}}}$ seja escolhido de forma a ter divergente nulo, a Lei de Ampère, a rigor escrita como:

${\displaystyle \nabla (\nabla .{\vec {A}})-\nabla ^{2}{\vec {A}}=\mu _{0}{\vec {j}}}$^[24]

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

se transforma em:

${\displaystyle \nabla ^{2}.{\vec {A}}_{({\vec {r}})}=-\mu _{0}{\vec {J}}}$^[22][24]

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

Ou seja, para vetores potenciais escolhidos de forma que ${\displaystyle \nabla .{\vec {A}}=0}$ o laplaciano do potencial magético é proporcional à densidade de corrente ${\displaystyle {\vec {j}}}$.

Assumindo-se que a densidade de corrente seja nula no infinito pode-se determinar o vetor potencial a partir da distribuição da densidade de corrente ${\displaystyle {\vec {j}}}$ mediante a integral:

${\displaystyle {\vec {A}}_{({\vec {r}})}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {{\vec {j}}_{({\vec {r'}})}}{|{\vec {r}}-{\vec {r'}}|}}d^{3}r'}$^[22]

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

onde ${\displaystyle d^{3}r'}$ representa o elemento de volume, ${\displaystyle {\vec {r'}}}$ localiza a densidade de corrente em relação à origem do sistema de coordenadas, ${\displaystyle {\vec {r}}}$ localiza o ponto onde determina-se o potencial magnético em relação à origem do mesmo sistema, e ${\displaystyle |{\vec {r}}-{\vec {r'}}|}$ corresponde ao valor da distância entre os dois elementos anteriores.

É importante ressaltar que: "... uma vez que a força magnética não realiza trabalho, ${\displaystyle {\vec {A}}}$ não admite uma interpretação física simples em termos de energia potencial por unidade de carga [elétrica]" como aquela associada ao potencial elétrico. "Em alguns contextos [específicos] ele pode ser interpretado como o momento por unidade de carga [elétrica]. Contudo, o vetor potencial tem substancial importância teórica...",^[22] inclusive a ponto de merecer menção neste artigo, mesmo requerendo conhecimento mais aprofundado em cálculo vetorial.

A título de curiosidade cita-se alguns potenciais magnéticos em sistemas específicos. Solicita-se ao leitor que consulte a literatura quanto à matemática, não muito trivial, associada ao cálculo dos mesmos.

O potencial e o solenoide infinito[editar | editar código-fonte]

Para um solenoide infinito com n espiras por unidade de comprimento, raio R e corrente por espira I:^[22]

${\displaystyle {\vec {A}}={\frac {\mu _{0}nI}{2}}r{\hat {\phi }}}$ para pontos internos ao solenoide (r < R).

${\displaystyle {\vec {A}}={\frac {\mu _{0}nI}{2}}{\frac {R^{2}}{r}}{\hat {\phi }}}$ para pontos externos ao solenoide (r > R).

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

Repare que o vetor potencial ${\displaystyle {\vec {A}}}$ mostra-se "paralelo" à corrente ${\displaystyle {\vec {j}}}$ no solenoide, ou seja, em quaisquer dois pontos radialmente conectados o vetor ${\displaystyle {\vec {A}}}$ determinado pelo primeiro ponto e o vetor ${\displaystyle {\vec {j}}}$ sobre o ponto da superfície do solenoide radialmente associado apontam sempre em mesma direção, neste caso em direção paralela à direção do vetor unitário ${\displaystyle {\vec {\hat {\phi }}}}$ atrelado aos referidos pontos uma vez obedecidas as regras do sistema de coordenadas cilíndricas em consideração. O "paralelismo" entre os vetores potencial magnético e densidade de corrente é, aparte o sistema de coordenadas mais adequado, geralmente observado em todos os sistemas que exibam alta simetria, incluindo-se na pertinente lista não apenas o presente sistema mas também o sistema formado pela esfera girante com densidade superficial de carga uniforme discutido a seguir.

O potencial e a esfera girante[editar | editar código-fonte]

Compreender o campo magnético gerado por uma esfera girante com densidade superficial de carga uniforme é certamente muito mais simples do que compreender o campo magnético da Terra. Os mecanismos que levam à existência do magnetismo terrestre ainda não encontram-se completamente elucidados.

Para uma casca esférica de raio R carregada com densidade superficial de carga uniforme ${\displaystyle \sigma }$ que gire com velocidade angular constante ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$:^[22][24]

${\displaystyle A_{({\vec {r}})}={\frac {\mu _{0}R\sigma }{3}}({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})}$ para pontos no interior da esfera.

${\displaystyle A_{({\vec {r}})}={\frac {\mu _{0}R^{4}\sigma }{3r^{3}}}({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})}$ para pontos exteriores à esfera a uma distância r de seu centro.

Curiosamente o campo magnético é uniforme dentro da esfera, o que, assumindo-se um sistema esférico de coordenadas com ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ coincidindo com o eixo Z:

${\displaystyle {\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}}={\frac {2\mu _{0}\sigma R\omega }{3}}{\hat {z}}}$

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O magnetismo e a energia[editar | editar código-fonte]

Ao falar-se em energia potencial normalmente tem-se também em mente um campo de forças adequadamente associado, força essa responsável pela conversão da energia potencial em energia cinética (e vice-versa) quando o sistema sofre transformações espaciais que impliquem variação na primeira. A exemplo, associado à energia potencial gravitacional e ao campo gravitacional tem-se o campo de forças gravitacionais. Associado à energia potencial elétrica e ao campo elétrico tem-se o campo de forças elétricas.

Ao falar-se em energia magnética há contudo uma série de divergências significativas do raciocínio anteriormente exposto, a começar pelo fato de que, ao contrário das forças elétrica e gravitacional, a força magnética não realiza trabalho.

Sobre o ócio da força magnética[editar | editar código-fonte]

Um feixe de elétrons termoemitidos desloca-se em movimento circular sob a ação de um campo magnético gerado pela bobina externa. O feixe torna-se visível devido à ionização do gás a baixa pressão confinado na ampola. A força magnética altera a velocidade dos elétrons (o vetor velocidade) sem contudo alterar o seu módulo (seu valor).

Parafraseando um pouco, a força magnética é por natureza um ente físico um tanto quanto ocioso visto que literalmente não trabalha. Tal argumento fundamenta-se na definição física de trabalho, diretamente relacionada à conversão ou transferência da energia associada ao movimento - a energia cinética. O diferencial de trabalho ${\displaystyle {\vec {d\mathrm {T} }}}$ realizado por uma força ${\displaystyle {\vec {F}}}$ é definido como o produto entre o diferencial de deslocamento ${\displaystyle {\vec {dl}}}$ sofrido por um objeto e a componente da força que neste atua de forma paralela a este deslocamento, ou seja, como o produto entre o diferencial de deslocamento e a componente da força paralela à velocidade do objeto. Tem-se pois que o diferencial de trabalho corresponde ao produto escalar entre o vetor deslocamento ${\displaystyle {\vec {dl}}}$ e a força ${\displaystyle {\vec {F}}}$, e o trabalho total realizado sobre o objeto é a soma, ou seja, a integral, dos diferenciais de trabalho ao longo da trajetória em questão:

${\displaystyle \mathrm {T} =\int {\vec {F}}{\vec {dl}}}$

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

A título de curiosidade, diferenciando-se ambos os lados em relação ao tempo, tem-se que, para campos de força independentes do tempo, o produto escalar entre a força e a velocidade instantânea fornece a potência ${\displaystyle P}$ instantânea associada ao trabalho sendo realizado:

${\displaystyle P_{(t)}={\vec {F}}_{(t)}.{\vec {V}}_{(t)}}$

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

Relembrando o fato de que a força magnética mostra-se sempre perpendicular à velocidade da carga elétrica q sob seu efeito - em função do produto vetorial entre ${\displaystyle {\vec {V}}}$ e ${\displaystyle {\vec {B}}}$ presente na equação ${\displaystyle {\vec {F}}_{M}=q{\vec {V}}\times {\vec {B}}}$ - conclui-se que o produto escalar entre a força magnética e a velocidade, e por tal entre a força magnética e o diferencial de deslocamento, vetores sempre ortogonais, é sempre nulo. Logo, com tradução literal:

“

A força magnética não trabalha.

”

A força magnética não consegue, pois, alterar a energia cinética de uma carga em movimento, sendo capaz de alterar a velocidade dessa apenas no que se refira à sua direção e sentido. Forças magnéticas colocam as cargas em movimento curvilíneo; contudo sem alterar o módulo de suas velocidades.

Energias em circuitos de corrente[editar | editar código-fonte]

Sem as ferramentas e conhecimento necessários, procurar por defeitos em circuitos de corrente pode mostrar-se mais difícil que procurar uma agulha em um palheiro.

Ao se estabelecer uma corrente elétrica em um circuito real diversas transformações de energia ocorrem simultaneamente ao longo do processo que leva ao crescimento e por fim à manutenção da corrente I em questão. A compreensão destes processos é de grande importância para no estudo e na compreensão dos princípios de funcionamento de qualquer dispositivo elétrico ou eletrônico presente no nosso dia a dia.

Estabelecer uma corrente elétrica requer energia, e a quantidade total de energia requerida é determinável pela soma de várias parcelas: a energia dissipada via efeito joule; a energia que será irradiada na forma de ondas eletromagnéticas; a parcela de energia associada à força contra-eletromotriz encontrada em dispositivos como motores elétricos, esta diretamente convertida em energia mecânica nestes dispositivos; a parcela de energia atrelada ao campo eletrostático estabelecido em virtude do acúmulo de cargas ao longo do circuito, a exemplo a energia armazenada em capacitores elétricos conectados ao mesmo; e a energia que encontrar-se-á diretamente associada ao campo magnetostático atrelado à corrente estabelecida, sendo a última parcela geralmente conhecida por energia magnética.

O efeito joule implica basicamente a contínua conversão de energia elétrica em energia térmica em um material resistivo quando percorrido por uma corrente elétrica. É o efeito associado ao aquecimento das resistências elétricas encontradas nos chuveiros, ferros de passar roupas, aquecedores elétricos, e outros aparelhos cuja principal função seja a de aquecer o ambiente que os cerca. Visto que esta energia elétrica, uma vez convertida em térmica, não é mais passível de ser recuperada em sua forma original - dadas as propriedades da resistência elétrica e do efeito joule - é a esta parcela que associa-se a necessidade de manter-se uma fonte de energia elétrica continuamente conectada aos circuitos elétricos cotidianos a fim de manter-se constante a corrente elétrica através deles. Removendo-se a fonte de energia (fonte de tensão), a corrente rapidamente reduz-se a zero devido às perdas de energia por efeito joule. Em supercondutores - materiais cuja resistência é absolutamente zero - visto que não há a dissipação de energia por efeito joule, uma corrente elétrica constante pode ser mantida por tempo indeterminado sem que se tenha a necessidade de uma fonte de energia elétrica conectada ao circuito. Maiores detalhes sobre resistividade elétrica, supercondutores e efeito joule podem ser obtidas em artigos específicos ligados ao estudo dos circuitos elétricos resistivos e ao estudo da resistividade dos materiais.

Diagrama de um circuito elétrico contendo uma fonte de tensão (VE), um indutor (L1), um capacitor (C1), um resistor (RL), uma chave liga-desliga (CH!), e um elemento não linear, no caso, um diodo (D1). Os capacitores armazenam energia elétrica em vista dos campos elétricos devidos ao acúmulo de cargas elétricas suas placas. Os indutores armazenam energia magnética em vista dos campos magnéticos que os rodeiam quando estes encontram-se percorridos por correntes elétricas.

Uma parcela de energia também irrecuperável no próprio circuito uma vez a ele fornecida associa-se à parcela de energia radiada na forma de ondas eletromagnéticas, emitidas quando faz-se a corrente elétrica variar de intensidade. Correntes constantes não irradiam ondas eletromagnéticas, contudo ao variar-se a corrente elétrica em um circuito há a emissão dessas ondas, e por conseguinte há radiação de energia e por tal a transferência dessa energia para as vizinhanças do sistema. A quantidade de energia radiada é fortemente dependente da geometria do circuito, e baseado nestes princípios tem-se o funcionamento das antenas rádio-transmissoras: correntes elétricas variáveis no tempo são estabelecidas nos elementos dessas antenas - elementos estes geometricamente dispostos a fim de maximizar a radiação; nelas, devido à permanente variação da corrente - mantida via geradores de correntes alternadas - tem-se a contínua emissão de ondas eletromagnéticas. Maiores detalhes podem ser obtidos em artigos específicos destinados ao estudo das telecomunicações, das antenas, do eletromagnetismo e das ondas eletromagnéticas.

A parcela de energia de interesse no escopo deste artigo corresponde à energia diretamente armazenada na corrente elétrica ou campo magnético associado uma vez que estes tenha se estabelecido no circuito. Aparte a questão de que pode-se com igual valor afirmar ou que a energia encontra-se armazenada no campo magnético ou que esta encontra-se armazenada na distribuição de corrente estabelecidos, fato é que tal energia é passível de ser completamente devolvida ao próprio circuito ao reduzirem-se a corrente elétrica e também o campo magnetostático a ela associado. Entre as duas, a ideia de associar-se a energia ao campo magnético é certamente é muito frutífera no contexto, e geralmente a mais explorada. Tem-se pois a energia magnética.

A energia transferida em virtude da tensão contra-eletromotriz desenvolvida em dispositivos como os indutores elétricos em muito guarda relação com a energia magnética, principalmente no que refere-se ao princípios envolvidos nesta transferência.

A parcela de energia associada ao acúmulo de cargas nada mais é que a energia potencial elétrica associada à distribuição de cargas elétricas no circuito, ou caso seja de preferência, associada ao campo eletrostático determinado por esta distribuição de cargas.

A energia magnética e a corrente[editar | editar código-fonte]

Dada uma determinada geometria - o que implica uma determinada indutância L - para o circuito em consideração, e também uma corrente I de valor pré-definido a percorrer este circuito, verifica-se que a quantidade de energia magnética associada a essa corrente e ao campo magnético estabelecidos é independente de como a corrente atingiu o valor especificado. Pode mostrar-se que nas condições citadas a energia magnética pode ser determinada através da expressão:

${\displaystyle E_{mag}={\frac {1}{2}}LI^{2}}$

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

Transformador automotivo, mais conhecido por bobina automotiva. Uma corrente elétrica elevada é estabelecida no circuito primário através dos dois fios conectados aos bornes desencapados. Os enrolamentos dos circuitos primário e secundário são sobrepostos de forma a estarem atrelados ao mesmo campo magnético e terem um par de pontas em comum (conectado a um dos bornes). O cabo de alta tensão ao centro conecta-se à outra ponta do circuito secundário. Energia magnética é armazenada no campo magnético estabelecido.

O circuito primário do transformador é subitamente interrompido pela abertura de um contato, o platinado, visto acima. A corrente no transformador não pode reduzir-se a zero sem que antes a energia magnética seja contudo dissipada. Uma alta tensão e uma corrente elétrica surgem instantaneamente no secundário e essas encarregam-se de transferir a energia magnética para um dispositivo conhecido como vela de ignição. A energia dissipa-se em uma centelha elétrica que incendeia a mistura explosiva no interior do cilindro.

A dedução dessa expressão passa por uma importante consideração: a de que a força magnética não realiza trabalho, e por tal não pode ser a responsável pelo processo de transformação de energia que culmina com energia armazenada na forma de energia magnética no circuito em questão. Em verdade a força associada a essa transferência de energia é uma força elétrica, esta correspondendo à força diretamente atrelada à tensão induzida ${\displaystyle \epsilon }$ que surge no circuito devido à sua autoindução e à variação do fluxo magnético nesse provocada pela necessária variação de corrente durante o processo que estabelece o valor estático I da corrente nesse circuito.

A tensão ${\displaystyle \epsilon }$ é determinável a partir da Lei da Indução de Faraday antes comentada. Associado o fato de que o fluxo magnético através de um circuito devido à sua autoindução pode ser determinado pelo produto entre a indutância deste circuito e a corrente que o percorre, tem-se que:

${\displaystyle \epsilon ={\frac {d\phi }{dt}}=L{\frac {dI}{dt}}}$

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

Como a potência desenvolvida em um certo tempo t é dada pelo produto entre a tensão ${\displaystyle \epsilon }$ e a corrente I no tempo t em consideração, tem-se que a taxa de conversão de energia elétrica em magnética (a potência) no tempo t em questão pode ser determinada por:

${\displaystyle {\frac {dE_{mag}}{dt}}=L{I_{(t)}}{\frac {dI_{(t)}}{dt}}}$

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

A integração da expressão acima do instante em que a corrente era zero até o instante em que esta atinge o valor I especificado leva diretamente à expressão inicialmente citada para a energia magnética armazenada em um circuito com indutância L percorrido por uma corrente I.

A densidades de energia e o campo magnéticos[editar | editar código-fonte]

Aplicando-se um pouco de álgebra vetorial à expressão ${\displaystyle E_{mag}={\frac {1}{2}}LI^{2}}$ é possível expressá-la em termos do campo magnético ${\displaystyle {\vec {B}}}$ estabelecido pela corrente I, do vetor potencial magnético ${\displaystyle {\vec {A}}}$ estabelecido pela mesma corrente, ou mesmo, para fins de simplificação, em função dos dois - visto que ambos encontram-se intimamente relacionados via expressão ${\displaystyle {\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}}}$. Procedendo-se os cálculos pode-se demonstrar que a energia magnética ${\displaystyle E_{mag}}$ também é determinável via expressão:

${\displaystyle E_{mag}={\frac {1}{2\mu _{0}}}\int _{vol.}B^{2}dv-{\frac {1}{2\mu _{0}}}\int _{sup.}({\vec {A}}\times {\vec {B}}){\vec {da}}}$

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

A primeira parcela da expressão acima corresponde a uma integral de volume do quadrado do valor de B ao longo de todo um volume escolhido de forma a no mínimo encerrar toda a distribuição de corrente I do circuito, e a segunda parcela corresponde a uma integral de superfície do produto vetorial entre o vetor potencial magnético ${\displaystyle {\vec {A}}}$ e o campo magnético ${\displaystyle {\vec {B}}}$ ao longo de toda a superfície fechada que define o volume v em consideração na primeira parcela. Como a única restrição associada ao volume é a de que este encerre todo o circuito em consideração, este volume pode ser feito tanto maior quanto se queira. Verifica-se que à medida que o volume em consideração é tomado cada vez maior, a integral de volume resulta um valor certamente maior e a de superfície um valor cada vez menor, isto de forma que a soma de ambos resulte sempre um mesmo valor, o valor da energia magnética associada ao circuito. No limite em que o volume estende-se até o infinito a integral de superfície anula-se, e em tal situação tem-se:

${\displaystyle E_{mag}={\frac {1}{2\mu _{0}}}\int _{vol.}B^{2}dv}$

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

a ser calculada sobre todo o espaço (sobre o universo).

A título de curiosidade, esta expressão é, feita as devidas associações, análoga à expressão que permite o cálculo da energia armazenada em um campo eletrostático:

${\displaystyle E_{eletr.}={\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int _{vol.}E^{2}dv}$

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

onde E aqui representa o valor do campo elétrico e ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ representa a permissividade elétrica do vácuo.

Ao contrário do que parece, as expressões anteriores encontram diversas aplicações práticas, e através delas pode-se concluir, mediante a ideia de que a energia encontra-se armazenada no campo - tanto magnético como elétrico - que a densidade volumétrica de energia magnética associada a um ponto onde o campo magnético possui valor B é dada por:

${\displaystyle \delta _{E.mag}={\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}}$

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

e que a densidade de energia elétrica associada a um ponto onde o campo elétrico possui valor E é dado por:

${\displaystyle \delta _{E.eletric.}={\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}}$

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

Se a preferência for pela ideia de que a energia magnética encontre-se armazenada na distribuição de corrente e não no campo magnético em si, é possível expressar a integral anteriormente citada como:

${\displaystyle E_{mag}={\frac {1}{2}}\int _{vol.}({\vec {A}}.{\vec {J}})dv}$

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

onde ${\displaystyle {\vec {J}}}$ representa a densidade de corrente e a integral de volume é tomada novamente sobre todo o espaço.

Neste caso diz-se que a energia está armazenada na distribuição de corrente, em densidade volumétrica igual a:

${\displaystyle \delta _{E.mag}={\frac {1}{2}}({\vec {A}}.{\vec {J}})}$.

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

O magnetismo e a matéria[editar | editar código-fonte]

Grafite pirolítico, essencialmente carbono em estrutura alotrópica artificial, flutuando sobre um conjunto de ímãs de neodímio. O grafite pirolítico exibe propriedades diamagnéticas.

É sabido que as partículas atômicas fundamentais - elétrons, prótons e nêutrons - possuem momentos angulares intrínsecos, e que os prótons e elétrons, em virtude de serem partículas carregadas, também possuem momentos magnéticos intrínsecos. Também é sabido que os elétrons encontram-se dotados de energia cinética, e por tal em movimento, ao redor dos respectivos núcleos em uma estrutura atômica neutra, e que as partículas que compõem o núcleo também não encontram-se estáticas na estrutura que juntas formam.^[23]

É certamente de se esperar, pois, que a interação magnética seja pertinente à compreensão da estrutura atômica e da matéria conforme concebida hoje, e que toda e qualquer matéria, de forma sensível aos sentidos humanos ou não, responda, de alguma forma e com alguma intensidade, ao menos microscopicamente, às influências externas de origem magnética (a campos magnéticos). É sabido que uma das parcelas da interação magnética total que a matéria exibe frente à influências magnéticas externas - interação total esta certamente dependente das particularidades de cada material - é traduzida por uma tênue repulsão magnética entre o objeto e as fontes magnéticas externas, e que esta parcela, mesmo que em um significativo número de casos mostre-se mascarada por parcelas atrativas ou repulsivas muito mais intensas, encontra-se sempre presente. Materiais que possuem estruturas que não impliquem outras parcelas além desta pequena repulsão são enquadrados em uma classe de materiais designada por materiais diamagnéticos. O diamagnetismo, embora não implique que todos os materiais sejam diamagnéticos, é pois inerente à estrutura de toda a matéria.

É importante de antemão ressaltar ao se estudar a relação entre magnetismo e matéria que os campos em consideração são, assim como para o caso elétrico, salvo exceções explícitas, os campos macroscópicos, ou seja, os campos termodinamicamente mensuráveis. Os campos macroscópicos correspondem ao valores médios das flutuações inerentes dos vetores campo magnéticos ou elétricos nos pontos em consideração, flutuações estas decorrentes da complexa dinâmica das partículas que compõem a matéria em si. Cita-se que os campos magnético e elétrico nas proximidades de um elétron são certamente muitíssimos maiores do que quando este encontre-se apenas um pouco distante do ponto em consideração. O valor real do campo em um dado ponto da estrutura da matéria pode sofrer variações consideráveis tanto em módulo como em sentido em curtíssimos intervalos de tempo, contudo, os valores médios adequadamente associados representam o estado termodinâmico do sistema e o comportamento macroscopicamente mensurável da matéria, constituindo estes últimos o alvo de estudo em questão. Recursos oriundos do formalismo termodinâmico aplicam-se indubitavelmente com justo valor ao estudo dos sistemas vinculados.

Antes que se siga adiante na busca por uma compreensão mais detalhada acerca dos mecanismos de respostas da matéria frente à influências magnéticas externas deve-se primeiro fazer uma descrição fenomenológica e estabelecer o conceito de magnetização.

Magnetização[editar | editar código-fonte]

Guindaste eletromagnético em operação. O ferro é o mais popular material com propriedades ferromagnéticas.

O termo magnetização refere-se ao fenômeno de resposta da matéria frente a campos magnéticos excitantes, na maioria dos casos frente a campos excitantes externos. Quando se imerge um pedaço de matéria qualquer em uma região onde há uma campo magnético preexistente, a estrutura deste material responde ao campo no qual fora imerso mediante a produção de um campo magnético próprio, cuja intensidade e orientação dependem não apenas do campo externo excitante como também das propriedades do material que compõe o objeto em questão. Diz-se então que o material encontra-se magnetizado.

A magnetização do material mostra-se, nos casos mais simples - para materiais isotrópicos, homogêneos e não fortemente magnetizáveis - diretamente dependente do campo magnético excitante. Em tais casos a magnetização é nula quando o campo magnético indutor também é nulo, e cresce gradualmente, a favor (paramagnetismo) ou contra (diamagnetismo) - mas contudo paralela - ao campo excitante a medida que a intensidade deste último aumenta. Entretanto, em casos mais específicos - o que depende diretamente da natureza e estrutura do material em questão - a magnetização pode relacionar-se com o campo magnético externo de formas bem mais complicadas, havendo a necessidade do uso de tensores ou ferramentas matemáticas mais avançadas para descrevê-la, e em casos extremos, esta pode inclusive depender do histórico de exposição às influências magnéticas externas^[26] - fenômeno notoriamente visível em materiais que exibem memória e histerese magnéticas.

Materiais que possuem histerese magnética podem encontrar-se magnetizados mesmo na ausência de campo excitante em um dado momento, e podem, em virtude de seu histórico, exibir magnetização nula mesmo quando imersos em campos excitantes não nulos.

Os ímãs permanentes são compostos por materiais que apresentam, em seu estado de equilíbrio termodinâmico ou em estados metastáveis com longos tempos de vida - uma magnetização notoriamente não nula. Embora tais materiais certamente respondam a campos excitantes externos de forma que a sua magnetização total mostre-se não obstante também dependente da excitação externa, os imãs permanentes diferem dos demais materiais por associar-se a eles uma parcela de magnetização permanente não nula com origem na própria estrutura do material - com um certo abuso de linguagem, com origem em uma "autoexcitação" magnética - sendo esta parcela em específico para a maioria dos casos completamente independente de uma excitação magnética externa.

A magnetização e a densidade de momento de dipolo magnético[editar | editar código-fonte]

Fotomicrografia exibindo estrutura de domínios magnéticos em amostra de NdFeB, material utilizado na confecção dos ímãs de terra rara (neodímio). O domínio em destaque orienta-se de forma quase perpendicular aos demais.

Um exame ao microscópio ou com técnicas mais específicas revela que um material torna-se magnetizado mediante um maior ou menor alinhamento - induzido pelo campo excitante - de um enorme número de minúsculas regiões magnética, por vezes denominadas domínios magnéticos.^{[nota 11]} Estas minúsculas regiões funcionam cada qual como um momento de dipolo magnético orientado em uma dada direção. Como a magnetização total do material é o resultado da maior ou menor cooperação de todos estes dipolos, a medida da magnetização deriva diretamente da medida do momento de dipolo efetivo em cada minúscula região - em cada minúsculo dipolo - ou seja, associa-se à densidade volumétrica de momento de dipolo magnético:

${\displaystyle {\vec {M}}}$ = média vetorial do momento de dipolo magnético por unidade de volume ao longo de todo o volume considerado.

${\displaystyle {\vec {M}}={\frac {\Sigma {\vec {m}}_{({\vec {r'}})}}{V}}}$,^[1] em que ${\displaystyle m_{({\vec {r'}})}}$ representa cada um dos momentos de dipolo magnético presentes no interior do volume V considerado.

O vetor ${\displaystyle {\vec {M}}}$ é denominado magnetização do material.

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

A unidade de magnetização corresponde pois à unidade de momento de dipolo magnético, no Sistema Internacional de Unidades o ampère metro quadrado (A.m²), dividida pela unidade de volume, o metro cúbico (m³). Tem-se pois que a unidade de magnetização é o ampère por metro (A/m). Quanto maior a magnetização, maior o momento de dipolo magnético efetivo associado a cada minúsculo volume do material, e maior o momento de dipolo magnético total associado ao objeto.

Para um material linear, isotrópico e homogêneo definindo um objeto com simetria axial adequada - a exemplo um cilindro maciço com eixo devidamente orientado de forma paralela ao campo magnético excitante, este em um campo uniforme, condições estas assumidas por simplicidade - a magnetização do material corresponderia ao momento de dipolo induzido associado ao objeto em tais condições dividido pelo seu volume total.

É importante ressaltar que embora a quantificação da magnetização tenha sido apresentada mediante o conceito de domínios magnéticos diretamente observáveis, a identificação visual destes não se faz necessariamente obrigatória, sendo possível reduzir-se a escala do problema até o nível atômico, e se ainda necessário, por extrapolação, além deste limite. Desta forma o conceito de magnetização pode ser aplicado ao estudo dos próprios domínios magnéticos, se requisitado. Não obstante, a magnetização é extrapolada a uma grandeza espacialmente contínua e não espacialmente quantizada; para todos os efeitos o material passa a ser descrito como composto por infinito número de domínios (dipolos) magnéticos efetivos idênticos, cada qual com momento de dipolo e volume com valores diferenciais.^[1] Neste caso:

${\displaystyle {\vec {M}}={\frac {d{\vec {m}}}{dv}}}$

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

Tal definição aplica-se de forma justa aos materiais homogêneos e isotrópicos.

A magnetização e o campo magnético[editar | editar código-fonte]

O campo magnético devido a um objeto dotado de uma magnetização M conhecida pode ser determinado através do campo magnético produzido por cada um de seus minúsculos dipolos magnéticos ${\displaystyle {\vec {m}}}$. Em termos de vetor potencial magnética ${\displaystyle {\vec {A}}}$ tem-se, para um dipolo puntual:

${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {{\vec {m}}\times {\vec {(}}{\vec {r}}-{\vec {r'}})}{({\vec {r}}-{\vec {r'}})^{2}}}}$^[22]

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

onde ${\displaystyle ({\vec {r}}-{\vec {r}}')}$ representa o vetor que localiza o ponto onde se determina o potencial magnético - ponto este localizado por ${\displaystyle {\vec {r}}}$ considerada a origem do sistema de coordenadas adotado - em relação ao dipolo em questão - este localizado em ${\displaystyle {\vec {r'}}}$ se a referência for a origem do citado sistema de coordenadas.

No objeto magnetizado, cada elemento de volume ${\displaystyle dv'=d^{3}r'}$ tem associado um momento de dipolo ${\displaystyle {\vec {m}}={\vec {M}}dv'}$, de forma que o vetor potencial total resultante devido à magnetização do objeto é:

${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {{\vec {M}}({\vec {r'}})\times {\vec {(}}{\vec {r}}-{\vec {r'}})}{({\vec {r}}-{\vec {r'}})^{2}}}dv'}$

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

A execução deste cálculo depende, entre outros, de se conhecer não somente o volume mas também a geometria objeto, exigindo doravante dados específicos a cada problema.

Sobre as correntes sem alforria[editar | editar código-fonte]

Mediante algumas ferramentas matemáticas é possível reescrever a expressão anterior para o vetor potencial magnético devido a um objeto magnetizado de forma que essa venha a fornecer algumas informações físicas de considerável relevância aos modelamento teórico dos sistemas associados. Após alguns cálculos - passíveis de serem verificados na literatura pertinente^[22] - mostra-se que a expressão anterior pode ser reescrita na forma:

${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {{\vec {J}}_{b}({\vec {r'}})}{({\vec {r}}-{\vec {r'}})}}dv'+{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\oint {\frac {{\vec {K}}_{b}({\vec {r'}})}{({\vec {r}}-{\vec {r'}})}}da'}$

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

A compreensão desta expressão leva ao fato de que o vetor potencial e por tal o campo magnético devido à magnetização de um objeto é o mesmo que seria produzido por uma densidade volumétrica de corrente ${\displaystyle {\vec {J}}_{b}({\vec {r'}})=\nabla \times M({\vec {r'}})}$ ao longo da parte interna do material adicionado ao campo produzido por uma densidade de corrente superficial ${\displaystyle {\vec {K}}_{b}({\vec {r'}})=M({\vec {r'}})\times {\vec {n}}}$ ao longo da superfície do material, onde ${\displaystyle {\vec {n}}}$ representando um vetor unitário normal a esta superfície em cada ponto considerado.^{[nota 12]}

De fato verifica-se não apenas teórica mas também praticamente o que a análise matemática sugere: se em um dado ponto o rotacional da magnetização difere de vetor nulo, há associado a este ponto uma corrente elétrica - mais especificamente uma densidade volumétrica de corrente elétrica ${\displaystyle {\vec {J}}}$ - não nula, mesmo esta corrente não correspondendo diretamente a uma corrente elétrica tradicional - que implica o traslado de carga ao longo da estrutura e cuja causa associa-se, para o caso de materiais resistivos, a uma fonte de tensão externa como pilhas ou baterias. As causas da corrente no caso em debate, ao contrário, não associam-se a tais tensões e campos elétricos externos e sim ao campo magnético excitante bem como a forma como a matéria respondeu a esta excitação, ou seja, à magnetização do material. Esta corrente difere pois certamente das corrente convencionais - no contexto tradicionalmente identificadas como correntes livres - e é, dado o mecanismo de sua origem, usualmente denominada corrente ligada.

Assim, distinguem-se doravante na análise do magnetismo atrelado à matéria, por tal, dois tipos de corrente elétrica. A corrente livre, tradicional em análise de circuitos e que implica o traslado de portadores de cargas livres ao longo da estrutura do material ou espaço em consideração, e a corrente ligada, corrente esta resultante da adequada justaposição de um número significativos de minúsculos circuitos elétricos associados às estruturas dos pequenos dipolos magnéticos ligados à magnetização do material. Às correntes ligadas não associam-se pois portadores de cargas livres em movimento, e sim à cooperação de inúmeros portadores de carga que, movendo-se presos cada qual ao respectivo momento de dipolo magnético, ou seja, à respectiva estrutura atômico-molecular que integra o material, também movem-se, dada a justaposição dos minúsculos circuitos, de forma a passarem todos juntos por um dado ponto em questão, implicando neste ponto uma corrente elétrica efetiva de valor consideravelmente maior do que a verificada em cada pequeno circuito de forma independente. O índice "b" é geralmente utilizado para identificar as correntes ligadas, e deriva da expressão inglesa para corrente ligada: "bound current".

Para análise teórica e prática, a magnetização em um material produz os mesmos efeitos que seriam esperados caso existisse apenas uma distribuição de correntes análoga à distribuição das correntes ligadas adequadamente inferidas da magnetização em questão. Tal afirmação vale tanto para o caso de magnetização com rotacional diferente de zero - o que implica uma densidade volumétrica de corrente ligada diferente de zero no interior do material - bem como para magnetização não rotacional - que embora não implique uma densidade de corrente ligada no interior do material, geralmente implica uma densidade de corrente na superfície do material. Para ser mais exato, o magnetismo oriundo de corpos magnetizados, em vista da ausência empírica de monopolos magnéticos - é não apenas análogo ao que observar-se-ia para uma distribuição de correntes livres análoga à de correntes ligadas como é em verdade efetivamente devido às correntes ligadas, ou seja, as correntes ligadas têm existência real e não apenas teórica no interior e superfície do material em consideração.

Na figura à direita: o efeito de alinharem-se paralelamente vários dipolos magnéticos. Há na superfície da estrutura associada uma corrente ligada. Na figura à esquerda: raciocínio análogo é utilizado para explicar densidade superficial de carga (ligada) resultante de uma polarização elétrica uniforme.

Dadas as semelhanças entre dipolos extrínseco e intrínseco, a existência de correntes ligadas na superfície do material devido à magnetização é melhor compreendida uma vez considerado que, associado a um vetor momento de dipolo magnético ${\displaystyle {\vec {m}}}$, pode-se sempre pensar a existência de uma corrente i circundando-o de forma que o produto dessa corrente pelo vetor área associado ao circuito por ela definido resulte o momento de dipolo magnético em questão. Seguindo-se o raciocínio anterior, associado ao momento de dipolo total do objeto com magnetização uniforme (irrotacional), pode-se pensar corretamente em uma corrente elétrica fluindo pela superfície do material, sendo essa corrente, certamente, também identificável como uma corrente ligada. A área desse dipolo tamanho família corresponde a área da seção do objeto em questão. É imediato compreender que densidade superficial de corrente ligada ${\displaystyle K_{b}}$ associada tem que mostrar-se perpendicular tanto à magnetização ${\displaystyle {\vec {M}}}$ como ao vetor normal à superfície no ponto em questão - encontrando-se esta necessária orientação em virtude da aplicação da regra da mão direita e em vista do fato desta corrente encontrar-se restrita à superfície do material. É fácil perceber que, dados diversos dipolos iguais e de dimensões reduzidas, todos orientados na mesma direção (ver figura), as correntes associadas a cada um deles somam-se na superfície externa que determinam e cancelam-se no interior dessa, de forma que há, ao fim, apenas uma corrente efetiva (contudo ligada) na superfície da estrutura que encerra tais dipolos.

A analogia em discussão no parágrafo anterior remete diretamente à comparação entre o campo de um solenoide simples - este com núcleo a vácuo (ou por aproximação, de ar) - e por tal com corrente apenas na superfície do cilindro que o define - e o campo produzido por um ímã material permanente cilíndrico com dimensões similares e magnetização constante adequadamente escolhida ao longo de sua estrutura, ou seja, em direção axial. A magnetização do ímã é irrotacional, e a tal associa-se, conforme já discutido e aqui esperado, ausência de correntes ligadas no interior deste. Uma vez estabelecido que o campo magnético análogo ao produzido pelo eletroímã (solenoide) em questão, tanto internamente quanto externamente ao mesmo, é análogo ao produzido pelo ímã, conclui-se que à corrente livre existente no solenoide associa-se no ímã material em barra uma corrente ligada de igual valor em sua superfície.

Ressalva-se mais uma vez que, embora apresentado como uma ferramenta teórica para auxiliar na análise dos sistemas físicos em questão, as correntes ligadas nas estruturas dos materiais magnetizados - a exemplo no ímã anterior - têm fundamento físico e são por tal reais, tão reais quanto as correntes ditas livres, embora certamente não tão acessíveis ou controláveis experimentalmente quanto estas últimas.

O grandioso "B" versus o famigerado campo "H"[editar | editar código-fonte]

A magnetização ${\displaystyle {\vec {M}}}$ do prego é induzida pela presença do campo excitante ${\displaystyle {\vec {H}}}$, este tendo por origem no presente caso o ímã ilustrado à esquerda. Sendo o prego geralmente feito de material ferromagnético e que apresenta histerese magnética, o prego permanece magnetizado mesmo após a remoção do campo excitante.

Uma vez compreendido que a magnetização implica campo magnético diretamente associado, é hora de colocar na balança não apenas o campo ${\displaystyle {\vec {B}}_{M}}$ devido à magnetização mas também o campo ${\displaystyle {\vec {B}}_{0}}$ que estaria presente na região na ausência do objeto magnetizado, sendo este devido às fontes magnéticas externas e geralmente - mas não necessariamente - o responsável por induzir a referida magnetização no material. É notório que o campo magnético total ${\displaystyle {\vec {B}}}$ mensurado em um dado ponto do sistema composto é resultante não apenas de uma das citadas parcelas em particular, mas sim da superposição dos campos devidos às duas causas.

${\displaystyle {\vec {B}}={\vec {B}}_{0}+{\vec {B}}_{M}}$

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

O campo excitante - o campo magnético que estaria presente na região na ausência do objeto magnetizado - que não raro é responsável por induzir a magnetização do material e que por vezes é representado por ${\displaystyle {\vec {B}}_{0}}$^[1][6] - é tradicionalmente - aparte uma constante - conhecido como "campo ${\displaystyle {\vec {H}}}$".^[22][24]

Tratamento macroscópico - no vácuo[editar | editar código-fonte]

Em virtude de razões práticas, o campo ${\displaystyle {\vec {H}}}$ reflete - geralmente mas não de forma obrigatória - o campo devido a correntes livres. A associação com as correntes livres dá-se na prática não raro por planejamento e deve-se ao fato destas correntes, bem como a geometria do circuito envolvido, poderem ser facilmente mensuradas e determinadas na prática com a precisão necessária. Controles na fonte de tensão ou corrente, e galvanômetros, são não obstantes propositalmente instalados para permitir o controle das correntes livres, controle que traduz-se - em problemas práticos assim concebidos - em controle direto do campo ${\displaystyle {\vec {H}}}$, que pode então ser previamente escolhido e feito presente conforme planejado.

As correntes ligadas - estas associadas à resposta da matéria ao campo excitante ou à auto-magnetização (ímãs) - certamente não são facilmente determináveis ou controláveis na prática. Contudo deve-se perceber que não são raros os sistemas onde há correntes ligadas - sistemas envolvendo ímãs e materiais magnetizados, a exemplo - responsáveis pelo campo ${\displaystyle {\vec {H}}}$ a ser considerado em alguma outra parte do sistema. Exemplo típico encontra-se esboçado na figura ao lado: a magnetização de um prego via campo excitante produzido por um ímã permanente. O campo ${\displaystyle {\vec {H}}}$ em consideração ao assumir-se o prego como objeto móvel em estudo certamente não é um campo devido a correntes livres em sentido de associarem-se à presença de fontes de corrente ou tensão típicas, ou seja, a portadores de carga livres e em movimento ordenado, sendo o campo ${\displaystyle {\vec {H}}}$ no prego devido em verdade a correntes ligadas à estrutura do ímã. Assim, tanto correntes livres como correntes ligadas podem constituir fontes de campo ${\displaystyle {\vec {H}}}$, e associá-lo apenas às correntes livres sem os devidos cuidados não raro leva a situações e resultados incorretos.

Por razões teóricas e também por razões práticas, embora o campo ${\displaystyle {\vec {H}}}$ em um dado ponto seja em princípio um campo magnético,^{[nota 13]}, a unidade na qual usualmente mensura-se o campo ${\displaystyle {\vec {H}}}$ não é a unidade de campo magnético - o tesla - e sim a mesma unidade utilizada ao mensurar-se o momento de dipolo magnético - o ampère por metro (A/m). Tal conversão de unidades é feita mediante uma constante de proporcionalidade escolhida apropriadamente, sendo esta a permeabilidade magnética do meio, no caso a do vácuo ${\displaystyle \mu _{0}}$, já antes citada no presente artigo. Assim:

${\displaystyle {\vec {H}}={\frac {{\vec {B}}_{excitante}}{\mu _{0}}}}$

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

Nada impede, contudo, que o campo ${\displaystyle {\vec {H}}}$ seja medido em tesla se necessário ou conveniente, o que contudo raramente é feito. Nesse caso opta-se por explicitar diretamente do campo excitante ${\displaystyle {\vec {B}}_{excitante}}$ em detrimento ao campo ${\displaystyle {\vec {H}}}$. Ao explicitar-se ${\displaystyle {\vec {B}}_{excitante}}$ não se deve contudo esquecer que o campo excitante citado geralmente não se comporta, em meios materiais, como um campo magnético tradicional e sim um campo magnético auxiliar, apresentando algumas peculiaridades se comparados ao comportamento esperado para um campo magnético tradicional, a exemplo se comparado ao padrão de comportamento sempre observado para o campo magnético total ${\displaystyle {\vec {B}}}$ efetivamente mensurável quer em meios materiais quer no vácuo. Tais peculiaridades justificam por si só a preferência explícita pelo campo auxiliar ${\displaystyle {\vec {H}}}$ em detrimento de ${\displaystyle {\vec {B}}_{excitante}}$ nesse, e por extrapolação, em todos os casos (ver próxima seção).

Tratamento diferencial - em meio material[editar | editar código-fonte]

Considerado o campo magnético resultante ${\displaystyle {\vec {B}}={\vec {B}}_{total}}$ mensurado em um dado ponto no interior de um corpo material e a magnetização ${\displaystyle {\vec {M}}}$ associada ao respectivo ponto, deriva-se para um tratamento puntual a seguinte relação constitutiva para ${\displaystyle {\vec {H}}}$:

${\displaystyle {\vec {H}}\equiv {\frac {\vec {B}}{\mu _{0}}}-{\vec {M}}}$

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

de onde o campo magnético ${\displaystyle {\vec {B}}}$ devido tanto à magnetização como ao campo excitante é então determinável via expressão:

${\displaystyle {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {M}}+\mu _{0}{\vec {H}}}$

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

${\displaystyle {\vec {H}}}$ constitui-se pois pela parcela do campo magnético total no ponto que não encontra-se associada à magnetização do meio material no próprio ponto em consideração e vizinhança diferencial imediata, ou seja, pela parcela que encontrar-se-ia ali presente na ausência do momento de dipolo magnético ${\displaystyle {\vec {m}}={\vec {M}}dv}$ atrelado ao ponto em consideração.

Para uma análise puntual evidencia-se, via Lei de Ampère, que o campo ${\displaystyle {\vec {H}}}$ em um dado ponto é associado à densidade de corrente livre encontrada no ponto:

${\displaystyle \nabla \times {\vec {H}}={\vec {J}}_{livre}}$

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

visto que o rotacional da magnetização associa-se à densidade de corrente ligada no ponto em questão:

${\displaystyle \nabla \times {\vec {M}}={\vec {J}}_{ligado}}$.

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

Campos magnéticos ${\displaystyle {\vec {B}}}$ e ${\displaystyle {\vec {H}}}$ criados por um ímã permanente. A magnetização é mostrada em azul. Em cima: as correntes magnéticas ligadas ${\displaystyle {\vec {J}}_{b}=\nabla \times {\vec {M}}}$ (em magenta) criam um campo magnético ${\displaystyle {\vec {B}}}$ (em vermelho) similar ao que é produzido por um solenoide. Abaixo: As "cargas magnéticas" ${\displaystyle -\nabla .{\vec {M}}=q_{M}}$ (em ciano), ou seja, os monopolos magnéticos induzidos - não confundir com carga elétrica ou monopolos magnéticos livres (que não foram até hoje observados) - criam um campo auxiliar ${\displaystyle {\vec {H}}}$ (em verde). ${\displaystyle {\vec {B}}}$ e ${\displaystyle {\vec {H}}}$ são os mesmos na região externa mas diferem visivelmente, inclusive em sentido, no meio material (ver texto).

Retomando o raciocínio anteriormente apresentado para o caso macroscópico, tem-se na relação constitutiva para ${\displaystyle {\vec {H}}}$ em escala microscópica simplesmente a aplicação do mesmo raciocínio, contudo em escala puntual: o diferencial de volume "dv" que encerra o ponto em consideração é tratado como o "objeto" material, e esse é tratado como estando sob influência de um campo excitante devido a correntes externas - associadas a toda e qualquer corrente presente no restante do corpo macroscópico - excetuado o elemento de volume "dv" - ou mesmo na vizinhança externa ao citado corpo. Mesmo correntes identificadas como correntes ligadas em outras partes do corpo macroscópico são assim tratadas como possíveis fontes de campo excitante no ponto em questão na relação constitutiva conforme apresentada.

Dada a definição anterior, a equivalência do campo auxiliar ou excitante ${\displaystyle B_{0}=\mu _{0}{\vec {H}}}$ a um campo magnético ${\displaystyle {\vec {B}}}$ se dá com precisão na ausência de magnetização (no vácuo), contudo deve ser feita de forma cautelosa no interior da matéria. Interno à estrutura da matéria, o campo magnético (auxiliar) ${\displaystyle {\vec {B}}_{0}}$ não segue todas as características de um campo magnético tradicional (o que por vezes justifica o uso da expressão "campo auxiliar ${\displaystyle {\vec {H}}}$" em detrimento de campo magnético ${\displaystyle {\vec {B}}_{excitante}}$). Em particular, enquanto para qualquer campo magnético (total) ${\displaystyle {\vec {B}}}$ verifica-se sempre a ausência de divergência - o que reflete a ausência empírica de monopolo magnético e implica que as linhas representativas do campo magnético sejam linhas sempre fechadas - para o campo auxiliar ${\displaystyle {\vec {H}}}$ verifica-se experimentalmente que uma divergência não nula na magnetização do material em um dado ponto atua - de forma parecida ao que esperar-se-ia de uma "carga de campo ${\displaystyle {\vec {H}}}$" - como fonte de campo ${\displaystyle {\vec {H}}}$ - o que implica que a divergência do campo auxiliar não é obrigatoriamente sempre nula. As linhas do campo auxiliar podem assim, ao contrário das linhas de campo magnéticas, divergirem ou convergirem para pontos materiais específicos. Calculando-se o divergente a partir da relação constitutiva deduz-se, visto que

${\displaystyle \nabla .{\vec {B}}=0}$ (sempre)

o seguinte resultado:

${\displaystyle \nabla .{\vec {H}}=-\nabla {\vec {M}}}$

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

que, conforme verificação empírica, não tem associado a obrigatoriedade de anular-se.

No ponto acima encontra-se a justificativa para não associar-se as fontes de campo ${\displaystyle {\vec {H}}}$ exclusivamente a correntes livres. Embora seja verdade que o rotacional do campo auxiliar deva-se apenas à presença de correntes livres

${\displaystyle \nabla \times {\vec {H}}={\vec {J}}_{livre}}$,

fato que considerado isolado induz à associação errônea entre campo auxiliar e as correntes livres - e que leva os mais desatentos a fazer uso tolo da associada e válida lei de ampère em sua forma integral para o campo ${\displaystyle {\vec {H}}}$:

${\displaystyle \oint {\vec {H}}.{\vec {dl}}=I_{livre}}$

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI. 

a ausência de correntes livres não é suficiente para garantir a nulidade do campo excitante.